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實值函數
函數的範圍是實數的子集 来自维基百科,自由的百科全书
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實值函數是值域為实数的函数,也就是可以為其定義域的每個成員都指定一個實數。

代數結構
令是從集合X到實數所有函數的集合。因為是個域,可以變成實數上的向量空间和結合代數,有以下的運算:
上述運算可以延伸到X到的偏函数,其限制是偏函數f + g和f g只在f和g的定义域交集不是空集合時才有定義,此例中,其定義域就是f和g定義域的交集。
因為是有序集,存在以下的偏序关系
在,會使成為部分有序環。
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可測
博雷爾集的The σ-代数是實數裡的重要結構。若X有其σ-代數,且函數f使得任何博雷爾集 B的像f −1(B)都屬於該σ-代數,則f是可测函数。可测函数會形成向量空間以及代數。
甚至,X上實值函數的集合可以定義σ-代數,是由所有博雷爾集的所有像所產生的。這也是σ-代數出現在(機率公設)概率论的原因,其中,样本空间Ω上的實值函數是實值随机变量。
連續
實數形成了拓扑空间和完备空间。连续實值函數(其中隱含了X是拓扑空间)在点集拓扑学理論中很重要。极值定理表示,針對紧空间中的任何連續實值函數,其全域极值(最大值和最小值)存在。
度量空间概念本身是用二個變數的實值函數來定義的,其度量是連續的。緊豪斯多夫空間上的連續函數有其特別的重要性。收斂數列也可以視為是在特殊拓扑空間上的實值函數。
連續函數也形成向量空間,也有上述的幾何結構,也是可測函數的子集合,因為所有的拓扑空间都會有由開集(或閉集)產生的σ-幾何。
光滑
實數也是用來定義光滑函數的陪域(codomain)。實光滑函數的定義域可以是實坐標空間(會得到實多變數函數)、拓撲向量空間,[1]、上述的开集,或是光滑流形。
光滑函数的空間也是向量空間,也有上述的幾何結構,也是連續函數空間的子集。
測度理論中的應用
集合的测度是其子集σ-幾何上的非負實值泛函。集合上,有度量的Lp空间可由前述的實值可測函數|real-valued measurable functions定義,不過他們其實是商空间。更準確地說,滿足適當可積性的函數,定義了Lp空間的元素,但反過來說,對於任意f ∈ Lp(X),x ∈ X,而x不是atom,f(x)的值未定義。不過,實值Lp空間仍有一些前述代數結構中的特質。每一個Lp空間都是向量空間,也都有偏序,也存在函數的逐點乘法,可以改變p,公式如下
例如,兩個L2函數的點乘屬於L1。
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其他領域的應用
其他會用到實值函數和其性質的領域包括单调函数(在偏序关系裡)、凸函数(在向量和仿射空间)、调和函数和次调和函数(在黎曼流形)、解析函数(在一個或多個實數變數)、代數函數(在實代数簇)和(一個或多個實變數的)多項式
相關條目
腳註
參考資料
外部連結
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