导数

导数（英語：derivative）是微积分学中的一個概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数${\displaystyle f}$的自变量在一点${\displaystyle x_{0}}$上产生一个增量${\displaystyle h}$时，函數输出值的增量與自變量增量${\displaystyle h}$的比值在${\displaystyle h}$趋于0时的極限如果存在，即為${\displaystyle f}$在${\displaystyle x_{0}}$处的导数，记作${\displaystyle f'(x_{0})}$、${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})}$或${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}}$。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度^[1]:155。

提示：此条目页的主题不是倒数。

一个实值函数的图像曲线。函数在一点的导数等于它的图像上这一点处之切线的斜率。

导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导(可微分)，否则称为不可导(不可微分)。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在這一点上的切线斜率。

对于可导的函数${\displaystyle f}$，${\displaystyle x\mapsto f'(x)}$也是一个函数，称作${\displaystyle f}$的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导（英語：differentiation）。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的^[1]:372。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

一般定义

一個動畫，給出了一個直觀的導數概念，因為參數變化時函數的“擺動”會改變。

直觀上 ${\displaystyle f(x)-f(a)}$代表函數值從 ${\displaystyle a}$ 到 ${\displaystyle x}$ 的變化量，那這樣，

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$

代表的是從 ${\displaystyle a}$ 到 ${\displaystyle x}$ 的平均變化率，如果把 ${\displaystyle x}$ 趨近於 ${\displaystyle a}$，似乎就可以更能貼切的描述函數值在 ${\displaystyle a}$ 附近的變化。

以此為動機，若实函数 ${\displaystyle f}$ 於实数 ${\displaystyle a}$ 有定義，且以下極限（注意這個表達式所定義的函數定義域不含 ${\displaystyle a}$ ）

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$

存在則称 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 处可导，并称这个极限为 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle a}$ 处的导数^[2]:117-118，记为${\displaystyle f^{\prime }(a)}$也可记作 ${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=a}}$ 或 ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)}$ ^[1]:154。

根據函數極限的定義，導數定義部分的 ＂存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 使所有的 ${\displaystyle x\in D_{f}}$ ，只要 ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ 都有....＂ 可以直觀的理解為 ＂當 ${\displaystyle h=x-a}$ 趨近於 ${\displaystyle 0}$ 都有....＂，但要把它寫成嚴謹的定義，會碰到 ＂存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 對所有的實數 ${\displaystyle h}$ ，只要 ${\displaystyle a+h\in D_{f}}$ 且 ${\displaystyle 0<|h|<\delta }$ 都有....＂這段敘述無法直接套入極限定義的問題，對此必須把以下的表達式

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

定義為導數原始極限表達式的簡記，而非另一種自動合法的導數定義。但如果存在 ${\displaystyle r>0}$ ，使 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle (a-r,\,a+r)}$ 裡都有定義，那定義 ${\displaystyle F}$ 為以

${\displaystyle \{h\in \mathbb {R} \,|\,(h\neq 0)\wedge (|h|<r)\}}$

為定義域，然後以

${\displaystyle F(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

為對應規則的函數，那以下的極限式

${\displaystyle \lim _{h\to 0}F(h)=f^{\prime }(a)}$

就可以把以 ${\displaystyle h}$ 為自變數的偏差，將之趨近於零求導數的想法納入正式的運算裡。

几何意义

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设${\displaystyle P_{0}}$为曲线上的一个定点，${\displaystyle P}$为曲线上的一个动点。当${\displaystyle P}$沿曲线逐渐趋向于点${\displaystyle P_{0}}$时，并且割线${\displaystyle PP_{0}}$的极限位置${\displaystyle P_{0}T}$存在，则称${\displaystyle P_{0}T}$为曲线在${\displaystyle P_{0}}$处的切线。

若曲线为一函数${\displaystyle y=f(x)}$的图像，那么割线${\displaystyle PP_{0}}$（粉紅色）的斜率为：

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$

当${\displaystyle P_{}}$