尼文定理

尼文定理（Niven's theorem）说的是，在 0~90° 范围内，如果正弦函数 sin 的自变量和因变量都要求是有理数，那么答案只有^[1]：

${\displaystyle \sin 0^{\circ }=0}$ 。

${\displaystyle \sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}}$ 。

${\displaystyle \sin 90^{\circ }=1}$ 。

若用弧度表示，需在0 ≤ x ≤ π/2的範圍內，且要求x/π及sin x都是有理數。其結果是sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2 及 sin π/2 = 1。

此定義出現在伊萬·尼雲有關無理數的書中^[2]。

证明

证明的核心是下方的引理：

引理：

对于${\displaystyle \forall n\geq 1}$，必定存在一个一元n次整系数多项式${\displaystyle F_{n}(x)}$使得

${\displaystyle F_{n}(2\cos t)=2\cos nt}$

引理的证明：

考虑采用递推法构造题设数列：

当${\displaystyle n=1}$时

${\displaystyle F_{1}(x)=x}$

当${\displaystyle n=2}$时

${\displaystyle F_{2}(x)=x^{2}-2}$

当${\displaystyle n>2}$时

${\displaystyle 2\cos(n-1)t\cos t=\cos nt+cos(n-2)t}$ （积化和差恒等式）

${\displaystyle 2\cos nt=(2\cos(n-1)t)(2\cos t)-2\cos(n-2)t}$

${\displaystyle 2\cos nt=2\cos tF_{n-1}(2\cos t)-F_{n-2}(2\cos t)}$ （移项）

即只要${\displaystyle F_{n}(x)=xF_{n-1}(x)-F_{n-2}(x)}$ 且 ${\displaystyle F_{1}(x)=x,}$${\displaystyle F_{2}(x)=x^{2}-2}$ 必定满足题设要求。

定理的证明：

考虑到${\displaystyle \theta \over \pi }$是有理数，即${\displaystyle \theta =2\pi {\frac {k}{n}}}$

记${\displaystyle c=2\cos \theta \in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle F_{n}(c)=F_{n}(2\pi {\frac {k}{n}})=2\cos(2\pi k)=2}$

即 ${\displaystyle c}$ 是 ${\displaystyle F_{n}(x)-2=0}$的有理根

根据整数根定理，${\displaystyle c}$ 必定为整数

又有 ${\displaystyle -2\leq c=2\cos \theta \leq 2}$

故 ${\displaystyle c\in \{-2,-1,0,1,2\}}$

于是，在 ${\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}$ 且 ${\displaystyle {\frac {\theta }{\pi }}}$ 为有理数的条件下

${\displaystyle \theta \in \{0,{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{2}}\}}$

定义${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}-\theta }$

有${\displaystyle \sin \alpha =\cos \theta }$

故${\displaystyle \alpha \in \{0,{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{2}}\}}$

${\displaystyle \blacksquare }$

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