布豐投針問題

布豐投針問題（法語：Aiguille de Buffon，又译“蒲丰投針問題”），是法國學者布丰於18世紀提出的一個数学問題：^[1]

設我們有一個以平行且等距木紋舖成的地板（如右圖），現在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的機率。

使用積分幾何能找到此題的解。用該方法可設計一個求π的蒙地卡羅方法，不過這並非布豐的本意。^[2]

解法

設針的長度是${\displaystyle \ell }$，平行線之間的距離為${\displaystyle t}$，${\displaystyle x}$為針的中心和最近的平行線的距離，${\displaystyle \theta }$為針和線之間的銳角。

${\displaystyle x\in [0,t/2]}$且均匀分布，其機率密度函數為${\displaystyle {\frac {2}{t}}}$。

${\displaystyle \theta \in [0,\pi /2]}$且均匀分布，其機率密度函數為${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}$。

${\displaystyle x,\theta }$兩個隨機變數互相獨立，因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的積：

${\displaystyle {\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])}$

當${\displaystyle x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta }$，針和線相交，然後對${\displaystyle x,\theta }$積分得出所求機率。

要求上式的積分需要分為兩種情況：“短針”${\displaystyle ({\ell }\leq t)}$以及“長針”${\displaystyle ({\ell }>t)}$；以下考慮“短針”情況，計算上式積分得針與線相交的機率：

${\displaystyle P=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}}$

作簡單變換可得${\displaystyle \pi ={\frac {2\ell }{tP}}}$,

當拋${\displaystyle n}$支針，其中有${\displaystyle h}$支針與線相交，利用多次重複試驗所觀察事件發生的頻率越來越接近機率的理論值${\displaystyle P\approx {\frac {h}{n}}}$。

近似可得${\displaystyle \pi \approx {\frac {2\ell n}{th}}}$

拉扎里尼的估計

1901年，意大利數學家马里奥·拉扎里尼（Mario Lazzarini）嘗試進行此實驗。他拋了3408次針，得到π的近似值為355/113。

拉扎里尼選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況，針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交，π約等於${\displaystyle 5/3\times n/x}$。分母、分子少於五位數字，沒有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式${\displaystyle 355/113=5/3\times n/x}$，得${\displaystyle x=113n/213}$。

為求x的值接近這個數，可以重覆拋213次針，若有113次是成功的，便可終止實驗，宣布這個方法求π值準確度不低；否則，就再拋213次針，希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。拉扎里尼做了${\displaystyle 3408=213\times 16}$次。

參見

• 伯特蘭悖論
• 蒙地卡羅方法