设大圆的圆心是点
;四个圆的圆心分别是点
,半径分别是
。每个圆与大圆
的切点分别是
。
首先,根据勾股定理可以推出:对于任意的i 和j,都有

接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用
来表示。
考虑三角形
,根据三角形的余弦定理:

由于每个圆
都和大圆相切,所以:

设点
为大圆
上的任意一点,根据三角形的正弦定理,在三角形
之中,有:

所以,余弦式

将以上
与
代入式子
中,就可以得到:




再代入式子
中,就得到
的表达式:

以上等式对所有的i 和j 都成立,因此只要注意到四边形
是圆内接四边形,那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理:


证明完毕。