弗雷德霍姆定理

弗雷德霍姆定理是數學家埃里克·伊瓦爾·弗雷德霍姆在探討积分方程的弗雷德霍姆理論（英语：Fredholm theory）裡的一些定理。這些定理彼此相關，會用積分方程、线性代数、巴拿赫空间上的弗雷德霍姆算子（英语：Fredholm operator）表示。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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弗雷德霍姆擇一定理（英语：Fredholm alternative）也和弗雷德霍姆定理有關。

線性代數下

線性代數的弗雷德霍姆定理如下：若M是矩阵，則M之行空间的正交补即為M的核：

${\displaystyle (\operatorname {row} M)^{\bot }=\ker M.}$

而M之列空间的正交补即為M伴隨矩陣的核：

${\displaystyle (\operatorname {col} M)^{\bot }=\ker M^{*}.}$

積分方程

積分方程的弗雷德霍姆定理如下：令${\displaystyle K(x,y)}$是积分变换，考慮以下齊次多項式

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)}$

以及其複數伴隨（complex adjoint）

${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y).}$

其中${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$是复数 ${\displaystyle \lambda }$的共轭复数，${\displaystyle {\overline {K(x,y)}}}$也是類似概念。則，弗雷德霍姆定理是指，針對任何固定值的${\displaystyle \lambda }$，這些方程可能有平凡解${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)=0}$，不然就會有個數相同的線性無關解${\displaystyle \phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)}$, ${\displaystyle \psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)}$.

此定理的充份條件是${\displaystyle K(x,y)}$要在矩形區間${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$（其中a和/或b可以是正負無限大）內是平方可積函數。

此處，積分表示為在實數線上的一維積分。在弗雷德霍姆理論（英语：Fredholm theory）中會將此結果擴展到多維空間（例如黎曼流形）中的積分算子。

解的存在性

有一個弗雷德霍姆定理和弗雷德霍姆擇一定理（英语：Fredholm alternative）緊密相關，是有關以下非齊次弗雷德霍姆方程（英语：Fredholm equation）的解是否存在

${\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x).}$

此方程的解存在，若且唯若函數${\displaystyle f(x)}$和以下對應齊次伴隨方程的完整解集${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}}$正交：

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\overline {\psi _{n}(x)}}f(x)\,dx=0}$

其中${\displaystyle {\overline {\psi _{n}(x)}}}$是${\displaystyle \psi _{n}(x)}$的共軛複數，前者屬於以下方程的完整解集

${\displaystyle \lambda {\overline {\psi (y)}}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0.}$

此定理的充份條件是：${\displaystyle K(x,y)}$在矩形區域${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$內是平方可積函數

參考資料

• E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27 (1903) pp. 365–390.
• 埃里克·韦斯坦因. Fredholm's Theorem. MathWorld.
• B.V. Khvedelidze, Fredholm theorems, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）