待定係數法

待定系数法是求某些非齐次常微分方程和递推关系的特解的方法。它与微分算子方法密切相关，但不是使用特定类型的微分算子（annihilator）来找到特定解决方案的最佳可能形式，而是对适当的形式进行擬設或猜测，然后通过对所得方程进行微分来对其进行测试。对于复杂的方程式，零化器方法或参数变化的执行耗时较少。

待定系数不像參數變換法那样普遍，因为它仅适用于遵循特定形式的微分方程。

方法

考虑以下形式的线性非齐次常微分方程

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)}$

此處${\displaystyle y^{(i)}}$表示${\displaystyle y}$的第i个导数，${\displaystyle c_{i}}$表示${\displaystyle x}$的一個函數

待定系数法提供了一种在满足两个条件时获得此ODE解的直接方法：^[1]

1. ${\displaystyle c_{i}}$是常量
2. g(x)是常数，多项式函数，指数函数${\displaystyle e^{\alpha x}}$,正弦或余弦函数${\displaystyle \sin {\beta x}}$或${\displaystyle \cos {\beta x}}$（${\displaystyle {\alpha }}$，${\displaystyle {\beta }}$是常數）

该方法包括寻找一般齐次解是${\displaystyle y_{c}}$为互补线性齐次微分方程

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,}$

和一个特定的积分是p基于线性非齐次常微分方程的${\displaystyle y_{p}}$。那么一般的解决方法是y到线性非齐次常微分方程将是：

${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.}$^[2]

如果${\displaystyle g(x)}$由两个函数${\displaystyle h(x)+w(x)}$组成的和，我们说${\displaystyle y_{p_{1}}}$是基於${\displaystyle h(x)}$的解，${\displaystyle y_{p_{2}}}$是基於${\displaystyle w(x)}$的解。然后使用叠加原理，我们可以得到特定的积分${\displaystyle y_{p}}$是^[2]

${\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.}$