微分叠

微分疊'是代數幾何中的代數疊在微分幾何中的類似物，可描述為微分流形上的疊，也可描述為森田等價下的李群胚。^[1]

微分疊很適合處理有奇點的空間（如軌形、葉空間、商），它們自然出現在微分幾何中，且不是可微流形。例如，微分疊在葉狀結構、^[2]泊松流形^[3]和扭K理論中都有應用。^[4]

定義

定義1（由廣群纖維化）

回想在廣群中纖維化的範疇（或稱廣群纖維化），包含範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$、到微分流形範疇的函子${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }$，並滿足

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$是纖維範疇，即對任意對象${\displaystyle u\in {\mathcal {C}}}$和任意箭頭${\displaystyle V\to U\ \in \mathrm {Mfd} }$，都有箭頭${\displaystyle v\to u}$，在${\displaystyle V\to U}$上；
2. 對${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$中的任意交換三角${\displaystyle W\to V\to U}$及${\displaystyle W\to U}$上的任意箭頭${\displaystyle w\to u}$、${\displaystyle V\to U}$上的${\displaystyle v\to u}$，在${\displaystyle W\to V}$上存在唯一的箭，使三角${\displaystyle w\to v\to u}$交換。

這些性質確保${\displaystyle \forall U\in \mathrm {Mfd} }$，都可以定義其纖維${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$或${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}$，作為${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的子範疇，由${\displaystyle {\mathcal {C}}}$在U上的所有對象和在${\displaystyle id_{U}}$上的所有態射組成。根據這構造，${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$是廣群。疊是滿足膠合性質的廣群纖維，用下降表述。

任何流形X都定義了其切片範疇（英語：Overcategory） ${\displaystyle F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)}$，對象是流形U與光滑映射${\displaystyle f:U\to X}$組成的對子${\displaystyle (U,f)}$；則${\displaystyle F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U}$是廣群纖維，實際上也是疊。廣群纖維的態射${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$若滿足以下條件，則稱作可表浸沒：

• 對流形U和任意態射${\displaystyle F_{U}\to {\mathcal {D}}}$，纖維積${\displaystyle {\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}}$可表，即（對某個流形Y，）與作為廣群纖維的${\displaystyle F_{V}}$同構；
• 誘導光滑映射${\displaystyle V\to U}$是浸沒。

對流形X，微分疊是疊${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }$與特殊的可表浸沒${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$（上述每個浸沒${\displaystyle V\to U}$都需要是滿射）。映射${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$稱作疊X的圖集、呈現或覆疊。^[5][6]

定義2（由2-函子）

回想範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$上（廣群的）預疊（也稱作2-預層），是2-函子 ${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$，其中${\displaystyle \mathrm {Grp} }$是（集合論）廣群的2-範疇、及其間的態射和自然變換。疊是滿足膠合性質的預疊（類似層滿足的膠合性質）。要精確說明這性質，需要定義景上的（預）疊，即配備了格羅滕迪克拓撲的範疇。

所有對象${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$定義了疊${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)}$，與另一對象${\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$關聯，形成態射${\displaystyle N\to M}$的廣群${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)}$。現有疊${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$，若有對象${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$與疊的態射${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$（常稱作疊X的圖集、呈現或覆疊）滿足以下性質，則稱其幾何的：

• 態射${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$可表，即${\displaystyle \forall Y\in {\mathcal {C}}}$和任何態射${\displaystyle Y\to X}$，纖維積${\displaystyle {\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}}$同構於作為疊的${\displaystyle {\underline {Z}}}$（對某對象Z）；
• 誘導態射${\displaystyle Z\to Y}$滿足取決於範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的範疇（如對流形，是要滿足浸沒。

微分疊是${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} }$（微分流形範疇，視作具有通常開覆疊拓撲的景）上的疊，即2-函子${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$，其也滿足幾何性，即承認上面定義的圖集${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$。^[7][8]

注意，將${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$換成仿射概形範疇，就恢復到標準代數疊概念。相似地，把${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$換成拓撲空間範疇，就得到拓撲疊定義。

定義3（由森田等價）

回想李群胚，包含兩微分流形G、M、兩滿射浸沒${\displaystyle s,t:G\to M}$、偏乘法映射${\displaystyle m:G\times _{M}G\to G}$、單位映射${\displaystyle u:M\to G}$、逆映射${\displaystyle i:G\to G}$，滿足類似群的相容性。

兩個李群胚${\displaystyle G\rightrightarrows M}$、${\displaystyle H\rightrightarrows N}$間若有主雙叢P，即有主右H叢${\displaystyle P\to M}$、主左G叢${\displaystyle P\to N}$，使得對P的兩作用交換，則稱G、H森田等價。森田等價是李群胚間的等價，比同構弱，但足以保留許多幾何性質。

微分疊記作${\displaystyle [M/G]}$，是某李群胚${\displaystyle G\rightrightarrows M}$的森田等價類。^[5][9]

定義1、2的等價性

任何纖維範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} }$都定義了2-層${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)}$。反過來，任何預疊${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$給出了範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$，其對象是流形U與對象${\displaystyle x\in X(U)}$的對子${\displaystyle (U,x)}$，態射是映射${\displaystyle \phi :(U,x)\to (V,y)}$，使${\displaystyle X(\phi )(y)=x}$。這樣的${\displaystyle {\mathcal {C}}}$配備函子${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U}$後，成為纖維範疇。

定義1、2中疊的膠合性質等價，同樣，定義1中的圖集誘導了定義2中的圖集，反之亦然。^[5]

定義2、3的等價性

李群胚${\displaystyle G\rightrightarrows M}$給出了微分疊${\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$，將任何流形N發送到N上的G-旋子的範疇（即G-主叢）。${\displaystyle G\rightrightarrows M}$的森田類中，任何其他李群胚都誘導了一個同構疊。

反過來，任何微分疊${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$都是${\displaystyle BG}$形式，即可由李群胚表示。更精確地說，若${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$是疊X的圖集，則可定義李群胚${\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M}$，並檢查${\displaystyle BG_{X}}$是否同構於X。

Dorette Pronk提出的一個定理指出，定義1的微分疊與李群胚之間的雙範疇具有森田等價性。^[10]

示例

• 任何流形M定義了微分疊${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)}$，由恆等映射${\displaystyle {\underline {M}}\to {\underline {M}}}$平凡地表示。疊${\displaystyle {\underline {M}}}$對應單位廣群${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$的森田等價類。
• 李群G定義了微分疊${\displaystyle BG}$，將任意流形N發送到N上的G-主叢的範疇，由平凡疊態射${\displaystyle {\underline {pt}}\to BG}$表示，將一點發送到G的分類空間上的通用G-叢。疊${\displaystyle BG}$對應${\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}$的森田等價類，視作點上的李群胚（即任意具有迷向群G的傳遞李群胚的森田等價類）。
• 流形M上的葉狀結構${\displaystyle {\mathcal {F}}}$由其葉空間定義了微分疊，對應完整廣群${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$的森田等價類。
• 軌形都是微分疊，因為其是具有離散迷向的緊合李群胚（緊合李群胚的迷向是緊的，所以有限）的森田等價類。

商微分疊

給定M上的李群作用${\displaystyle a:M\times G\to M}$，其商（微分）疊是代數幾何中商（代數）疊的可微部分。其定義為與流形X、主G-叢範疇${\displaystyle P\to X}$和G-等價映射${\displaystyle \phi :P\to M}$相聯繫的疊${\displaystyle [M/G]}$，是由疊態射${\displaystyle {\underline {M}}\to [M/G]}$表示的微分疊，在任意流形X上的定義如下：

$${\displaystyle {\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})}$$

其中${\displaystyle \phi _{f}:X\times G\to M}$是G-等價映射${\displaystyle \phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g}$。^[7]

疊${\displaystyle [M/G]}$對應作用廣群${\displaystyle M\times G\rightrightarrows M}$的森田等價類。於是，可得到下列特殊情形：

• 若M是點，則微分疊${\displaystyle [M/G]}$與${\displaystyle BG}$重合
• 若作用是半正則緊合作用（於是商${\displaystyle M/G}$是流形），則微分疊${\displaystyle [M/G]}$與${\displaystyle {\underline {M/G}}}$重合
• 若作用是緊合作用（於是商${\displaystyle M/G}$是軌形），則微分疊${\displaystyle [M/G]}$與軌形定義的疊重合

微分空間

微分空間（differentiable space）是具有平凡穩定子的微分疊。例如，若李群半正則作用（不必緊合）於流形，則對其的商一般不是流形，而是微分空間。

配備格羅滕迪克拓撲

微分疊X可以某種方式配備格羅滕迪克拓撲，這給出了X上的層概念。例如，X上微分p形式的層${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$可由流形U上${\displaystyle \forall x\in X}$給出，使${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(x)}$為U上p形式的空間。層${\displaystyle \Omega _{X}^{0}}$稱作X上的結構層，表示為${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$。${\displaystyle \Omega _{X}^{*}}$帶有外微分，因此是X上向量空間的復層：於是有了X的德拉姆上同調的概念。

束

現有微分疊間的滿態射${\displaystyle G\to X}$，若${\displaystyle G\to G\times _{X}G}$也是滿態射，則前者稱作X上的束。例如，若X是疊，則${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$是束。Giraud提出的一條定理稱，${\displaystyle H^{2}(X,S^{1})}$一一對應於局部同構於${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$的X上的束集，束有其帶（band）的平凡化。^[11]