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微分叠
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微分叠'是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物,可描述为微分流形上的叠,也可描述为森田等价下的李群胚。[1]
微分叠很适合处理有奇点的空间(如轨形、叶空间、商),它们自然出现在微分几何中,且不是可微流形。例如,微分叠在叶状结构、[2]泊松流形[3]和扭K理论中都有应用。[4]
定义
回想在广群中纤维化的范畴(或称广群纤维化),包含范畴、到微分流形范畴的函子,并满足
- 是纤维范畴,即对任意对象和任意箭头,都有箭头,在上;
- 对中的任意交换三角及上的任意箭头、上的,在上存在唯一的箭,使三角交换。
这些性质确保,都可以定义其纤维或,作为的子范畴,由在U上的所有对象和在上的所有态射组成。根据这构造,是广群。叠是满足胶合性质的广群纤维,用下降表述。
任何流形X都定义了其切片范畴 ,对象是流形U与光滑映射组成的对子;则是广群纤维,实际上也是叠。广群纤维的态射若满足以下条件,则称作可表浸没:
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回想范畴上(广群的)预叠(也称作2-预层),是2-函子 ,其中是(集合论)广群的2-范畴、及其间的态射和自然变换。叠是满足胶合性质的预叠(类似层满足的胶合性质)。要精确说明这性质,需要定义景上的(预)叠,即配备了格罗滕迪克拓扑的范畴。
所有对象定义了叠,与另一对象关联,形成态射的广群。现有叠,若有对象与叠的态射(常称作叠X的图集、呈现或覆叠)满足以下性质,则称其几何的:
微分叠是(微分流形范畴,视作具有通常开覆叠拓扑的景)上的叠,即2-函子,其也满足几何性,即承认上面定义的图集。[7][8]
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回想李群胚,包含两微分流形G、M、两满射浸没、偏乘法映射、单位映射、逆映射,满足类似群的相容性。
两个李群胚、间若有主双丛P,即有主右H丛、主左G丛,使得对P的两作用交换,则称G、H森田等价。森田等价是李群胚间的等价,比同构弱,但足以保留许多几何性质。
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任何纤维范畴都定义了2-层。反过来,任何预叠给出了范畴,其对象是流形U与对象的对子,态射是映射,使。这样的配备函子后,成为纤维范畴。
定义1、2中叠的胶合性质等价,同样,定义1中的图集诱导了定义2中的图集,反之亦然。[5]
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李群胚给出了微分叠,将任何流形N发送到N上的G-旋子的范畴(即G-主丛)。的森田类中,任何其他李群胚都诱导了一个同构叠。
反过来,任何微分叠都是形式,即可由李群胚表示。更精确地说,若是叠X的图集,则可定义李群胚,并检查是否同构于X。
Dorette Pronk提出的一个定理指出,定义1的微分叠与李群胚之间的双范畴具有森田等价性。[10]
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示例
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给定M上的李群作用,其商(微分)叠是代数几何中商(代数)叠的可微部分。其定义为与流形X、主G-丛范畴和G-等价映射相联系的叠,是由叠态射表示的微分叠,在任意流形X上的定义如下:
其中是G-等价映射。[7]
叠对应作用广群的森田等价类。于是,可得到下列特殊情形:
- 若M是点,则微分叠与重合
- 若作用是半正则紧合作用(于是商是流形),则微分叠与重合
- 若作用是紧合作用(于是商是轨形),则微分叠与轨形定义的叠重合
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微分空间
微分空间(differentiable space)是具有平凡稳定子的微分叠。例如,若李群半正则作用(不必紧合)于流形,则对其的商一般不是流形,而是微分空间。
配备格罗滕迪克拓扑
微分叠X可以某种方式配备格罗滕迪克拓扑,这给出了X上的层概念。例如,X上微分p形式的层可由流形U上给出,使为U上p形式的空间。层称作X上的结构层,表示为。带有外微分,因此是X上向量空间的复层:于是有了X的德拉姆上同调的概念。
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束
现有微分叠间的满态射,若也是满态射,则前者称作X上的束。例如,若X是叠,则是束。Giraud提出的一条定理称,一一对应于局部同构于的X上的束集,束有其带(band)的平凡化。[11]
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参考文献
外部链接
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