德布鲁因-纽曼常数

德布鲁因-纽曼常数（De Bruijn–Newman constant）是一個以特定函數H(λ, z)的零點特性有關的數學常數，用Λ來表示。函數表示式中的λ為實數的參數，而z為複數變數。H有實數根若且唯若λ ≥ Λ。此常數和有關黎曼ζ函數零點的黎曼猜想密切相關，簡單來說，黎曼猜想就是Λ ≤ 0的猜想。

年份	Λ的下界
1988	−50
1991	−5
1990	−0.385
1994	−4.379×10−6
1993	−5.895×10−9
2000	−2.7×10−9[1]
2011	−1.1×10−12[2]

由於${\displaystyle H(\lambda ,z)}$是${\displaystyle F(e^{\lambda x}\Phi )}$的傅里叶变换，有以下維納-霍普夫表示式（英语：Wiener–Hopf representation）：

${\displaystyle \xi \left({\frac {1}{2}}+iz\right)=A{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}}H(\lambda ,x)\,dx}$

上式只在λ為正或0時有效，在極限中λ趨近於0，而${\displaystyle H(0,x)=\xi \left({\frac {1}{2}}+ix\right)}$。若λ為負值時H定義如下：

${\displaystyle H(z,\lambda )=B{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}}\xi \left({\frac {1}{2}}+ix\right)\,dx}$

其中A和B都是常數。

參考資料

• Csordas, G.; Odlyzko, A.M.; Smith, W.; Varga, R.S. A new Lehmer pair of zeros and a new lower bound for the De Bruijn–Newman constant Lambda (pdf). Electronic Transactions on Numerical Analysis. 1993, 1: 104–111 [June 1, 2012]. Zbl 0807.11059. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-19）.
• de Bruijn, N.G. The Roots of Triginometric Integrals. Duke Math. J. 1950, 17: 197–226. Zbl 0038.23302.
• Newman, C.M. Fourier Transforms with only Real Zeros. Proc. Amer. Math. Soc. 1976, 61: 245–251. Zbl 0342.42007.
• Odlyzko, A.M. An improved bound for the de Bruijn–Newman constant. Numerical Algorithms. 2000, 25: 293–303. Zbl 0967.11034.