拉回 (微分几何)

本文考虑微分几何中的拉回操作，特别是光滑流形上微分形式与张量场。关于“拉回”在数学中其他含义，参见拉回。

在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是从光滑流形 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle N}$ 的光滑映射；那么伴随有一个从 ${\displaystyle N}$ 上 1- 形式（余切丛的截面）到 ${\displaystyle M}$ 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 ${\displaystyle \phi }$ 拉回，经常记作 ${\displaystyle \phi ^{*}}$。更一般地，任何 ${\displaystyle N}$ 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 ${\displaystyle \phi }$ 拉回到 ${\displaystyle M}$ 上。

当映射 ${\displaystyle \phi }$ 是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何 ${\displaystyle N}$ 上的张量场变换到 ${\displaystyle M}$，或者相反。特别地，如果 ${\displaystyle \phi }$ 是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的开集与 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形 M 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。

拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。

光滑函数与光滑映射

设 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是光滑流形 ${\displaystyle M}$ 与 ${\displaystyle N}$ 之间的光滑映射，假设 ${\displaystyle f:N\rightarrow \mathbb {R} }$ 是 ${\displaystyle N}$ 上一个光滑函数。则 ${\displaystyle f}$ 通过 ${\displaystyle \phi }$ 的拉回是 ${\displaystyle M}$ 上的光滑函数 ${\displaystyle \phi ^{*}f}$，定义为${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$。类似地，如果 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle N}$ 中开集 ${\displaystyle U}$ 上的光滑函数，则相同的公式定义了 ${\displaystyle M}$ 中开集 ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$ 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了 ${\displaystyle N}$ 上光滑函数层到 ${\displaystyle \phi }$ 的直接像（在 ${\displaystyle M}$ 上光滑函数层中）的一个态射。

更一般地，如果 ${\displaystyle f:N\rightarrow A}$ 是从 ${\displaystyle N}$ 到任意其他流形 ${\displaystyle A}$ 的光滑映射，则 ${\displaystyle \phi ^{*}f(x)=f(\phi (x))}$ 是从 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle A}$ 的一个光滑映射。

丛与截面

如果 ${\displaystyle E}$ 是 ${\displaystyle N}$ 上一个向量丛（或任意纤维丛），${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是光滑映射，那么拉回丛 ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ 是 ${\displaystyle M}$ 上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其 ${\displaystyle M}$ 中的点 ${\displaystyle x}$ 处的纤维由 ${\displaystyle (\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}}$ 给出。

在此情形，前复合定义了 ${\displaystyle E}$ 上截面的一个变换：如果 ${\displaystyle s}$ 是 ${\displaystyle N}$ 上 ${\displaystyle E}$ 的一个截面，那么拉回截面 ${\displaystyle \varphi ^{*}s=s\circ \varphi }$ 是 ${\displaystyle M}$ 上拉回丛 ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ 的一个截面。

多重线性形式

设 ${\displaystyle \Phi :V\rightarrow W}$ 是向量空间 ${\displaystyle V}$ 与 ${\displaystyle W}$ 之间的一个线性映射（即，${\displaystyle \Phi }$ 是 ${\displaystyle L(V,W)}$ 中的元素，也记成 ${\displaystyle \hom(V,W)}$），设

${\displaystyle F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbb {R} }$

是 ${\displaystyle W}$ 上一个多重线性形式（也称为 ${\displaystyle (0,s)}$ 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 ${\displaystyle s}$ 是乘积中 ${\displaystyle W}$ 的因子的个数）。则 ${\displaystyle F}$ 由 ${\displaystyle \Phi }$ 的拉回 ${\displaystyle \Phi ^{*}F}$ 是一个 ${\displaystyle V}$ 上的多重线性形式，定义为 ${\displaystyle F}$ 与 ${\displaystyle \Phi }$ 的前复合。准确地，给定 ${\displaystyle V}$ 中向量 ${\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{s}}$，${\displaystyle \Phi ^{*}F}$ 由公式定义

${\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),}$

这是 ${\displaystyle V}$ 上一个多重线性形式。从而 ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ 是一个从 ${\displaystyle W}$ 上的多重线性形式到 ${\displaystyle V}$ 上的多重线性形式的（线性）算子。作为一个特例，注意到如果 ${\displaystyle F}$ 是 ${\displaystyle W}$ 上一个线性形式（或 ${\displaystyle (0,1)}$ -张量），那么 ${\displaystyle F}$ 是 ${\displaystyle W}$ 的对偶空间 ${\displaystyle W^{*}}$ 中一个元素，则 ${\displaystyle \Phi ^{*}F}$ 是 ${\displaystyle V^{*}}$ 中一个元素，所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射，作用的方向与线性映射 ${\displaystyle \Phi }$ 自己的方向相反：

${\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.}$

从张量的观点来看，自然想把来回这种概念推广到任何阶，即 ${\displaystyle W}$上取值于 ${\displaystyle r}$ 个 ${\displaystyle W}$ 的张量积 ${\displaystyle W\otimes W\otimes \cdots \otimes W}$ 的线性映射。但是，这种张量积不能自然的拉回：不过有从 ${\displaystyle V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}$ 到 ${\displaystyle W\otimes W\otimes \cdots \otimes W}$ 的前推算子，定义为

${\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).}$

然而，如果 ${\displaystyle \Phi }$ 可逆，拉回可以用逆函数 ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起，得到了对任何 ${\displaystyle (r,s)}$ 阶张量一个拉回算子。

余切向量与 1 形式

设 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是光滑流形间的光滑映射。那么 ${\displaystyle \phi }$ 的前推：${\displaystyle \phi *=\operatorname {d} \!\phi }$ （或 ${\displaystyle D\phi }$），是从 ${\displaystyle M}$ 的切丛 ${\displaystyle TM}$ 到拉回丛 ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ 的（在 ${\displaystyle M}$ 上）向量丛同态。从而 ${\displaystyle \phi *}$ 的转置是从 ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ 到 ${\displaystyle M}$ 的余切丛 ${\displaystyle T^{*}M}$ 的丛映射。

现在假设 ${\displaystyle \alpha }$ 是 ${\displaystyle T^{*}N}$ 的一个截面（${\displaystyle N}$ 上一个 1-形式），将 ${\displaystyle \alpha }$ 与 ${\displaystyle \phi }$ 前复合得到 ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$的一个拉回截面。将上述（逐点）丛映射应用到截面导致 ${\displaystyle \alpha }$ 由 ${\displaystyle \phi }$ 的拉回，是 ${\displaystyle M}$ 上一个 1-形式，定义为：

${\displaystyle (\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X))}$

对 ${\displaystyle x}$ 属于 ${\displaystyle M}$ 与 ${\displaystyle X}$ 属于 ${\displaystyle T_{x}M}$。

（共变）张量场

对任何自然数 ${\displaystyle s}$，上述构造马上可推广到 ${\displaystyle (0,s)}$ 阶张量丛上。流形 ${\displaystyle N}$ 上 ${\displaystyle (0,s)}$ 张量场 是 ${\displaystyle N}$ 上张量丛的一个截面，在 ${\displaystyle N}$ 中 ${\displaystyle y}$ 点的截面是多重线性 ${\displaystyle s}$-形式空间

${\displaystyle F\colon T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .}$

取 ${\displaystyle \Phi }$ 等于从 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle N}$ 的一个光滑映射的微分（逐点的），多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 ${\displaystyle M}$ 上 ${\displaystyle (0,s)}$ 张量场的拉回。更确切地，如果 ${\displaystyle S}$ 是 ${\displaystyle N}$ 上一个 ${\displaystyle (0,s)}$-张量场，那么 ${\displaystyle S}$ 由 ${\displaystyle \phi }$ 的拉回 是 ${\displaystyle M}$ 上 ${\displaystyle (0,s)}$-张量场 ${\displaystyle \phi ^{*}S}$，定义为

${\displaystyle (\varphi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{s}))\ ,}$

对 ${\displaystyle x}$ 属于 ${\displaystyle M}$ 与 ${\displaystyle X_{j}}$ 属于 ${\displaystyle T_{x}M}$。

微分形式

共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 ${\displaystyle \alpha }$ 是一个微分 ${\displaystyle k}$-形式，即 ${\displaystyle TN}$（逐点）反交换 ${\displaystyle k}$-形式组成的外丛 ${\displaystyle \Lambda ^{k}T^{*}N}$ 的一个截面，则 ${\displaystyle \alpha }$ 的拉回是 ${\displaystyle M}$ 上一个微分 ${\displaystyle k}$-形式，定义与上一节相同：

${\displaystyle (\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{k}))\ ,}$

对 ${\displaystyle x}$ 属于 ${\displaystyle M}$ 与 ${\displaystyle X_{j}}$ 属于 ${\displaystyle T_{x}M}$。

微分形式的拉回有两个性质，使其非常有用。

1. 和楔积相容：假设同上，对 ${\displaystyle N}$ 上的微分形式 ${\displaystyle \alpha }$ 与 ${\displaystyle \beta }$，

${\displaystyle \varphi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\varphi ^{*}\alpha \wedge \varphi ^{*}\beta \ .}$

2. 和外导数 ${\displaystyle \operatorname {d} \!}$ 相容：如果 ${\displaystyle \alpha }$ 是 ${\displaystyle N}$ 上一个微分形式，则

${\displaystyle \varphi ^{*}(\mathrm {d} \alpha )=\mathrm {d} (\varphi ^{*}\alpha )\ .}$

由微分同胚拉回

当流形之间的映射 ${\displaystyle \phi }$ 是微分同胚，即有一个光滑逆函数，则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回，从而通过扩张，对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射

${\displaystyle \Phi =\mathrm {d} \varphi _{x}\in GL(T_{x}M,T_{\varphi (x)}N)}$

可逆，给出

${\displaystyle \Phi ^{-1}={\mathrm {d} \varphi _{x}}^{-1}\in GL(T_{\varphi (x)}N,T_{x}M).}$

一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 ${\displaystyle TN}$ 与 ${\displaystyle T^{*}N}$ 两部分，分别用 ${\displaystyle \Phi }$ 与 ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ 变换。当 ${\displaystyle M=N}$ 时，则拉回和前推刻画了流形 ${\displaystyle M}$ 上张量场的变换性质。用传统术语说，拉回描述了张量共变指标的变换性质；相对地，反变指标的变换性质由前推给出。

由自同构拉回

上一节的构造有一个代表性特例，若 ${\displaystyle \phi }$ 是流形 ${\displaystyle M}$ 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi }$ 是 ${\displaystyle GL(TM,\phi ^{*}TM)}$ 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 ${\displaystyle GL(m)(m=\dim M)}$ 相配于 ${\displaystyle M}$ 的标架丛 ${\displaystyle GL(M)}$ 的任何丛的截面上导出了拉回作用。

拉回与李导数

更多信息：李导数

将上述想法应用到由向量场 ${\displaystyle M}$ 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。

联络（共变导数）

如果 ${\displaystyle \nabla }$ 是 ${\displaystyle N}$ 上向量丛 ${\displaystyle E}$ 的联络（或共变导数），${\displaystyle \phi }$ 是从 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle N}$ 的光滑映射，那么在 ${\displaystyle M}$ 上的向量丛 ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ 上有拉回联络 ${\displaystyle \varphi ^{*}\nabla }$，由等式

${\displaystyle (\varphi ^{*}\nabla )_{X}(\varphi ^{*}s)=\varphi ^{*}(\nabla _{\mathrm {d} \varphi (X)}s)}$

惟一确定。

另见

• 前推 (微分)
• 拉回丛
• 拉回 (范畴论)

参考文献

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
• Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
• B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.