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拉梅函数

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拉梅函数
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拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解:[1][2][3]

雅可比形式
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Lame function Maple animation plot

+ 此拉梅方程的正则奇点在复数平面的 其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分,K'代表模数为的完全椭圆积分。

其中 k,v 都是实数,并且 ,

代数形式

作雅可比橢圓函數变数替换得拉梅方程的代数形式:

,

此傅克型方程有四个正则奇点

魏尔斯特拉斯形式[3]

其中魏尔斯特拉斯函数

三角函数形式

在雅可比形式的拉梅方程中做代换[4]

可得

在上列方程组 等是实数或复数常数,而各变量为复数。

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拉梅方程的本征值

对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期[5]

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拉梅函数

与每一个本征值对应的本征函数,称为v阶拉梅函数,其记法及周期性列表于下:[6]

更多信息 , ...

其中代表在(0,2K)区间内的零点数。

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拉梅函数是Heun函数的特例

Heun方程


令=

则化为拉梅方程

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拉梅方程的Heun函数解

由于拉梅方程式是Heun方程的特例,因此拉梅方程可以用HeunG函数表示[7]

其中二个HeunG函数是线性无关的。

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拉梅函数的幂级数展开

拉梅函数可以展开成幂级数形式[8]


其中只能取

例子

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参考文献

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