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明渠流

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明渠流
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明渠流(英語:open-channel flow水力学的分支,是液體在管道或水路中的流動,而且液體存在自由表面[1],包括未全滿的液體在管道中流動,則稱為管流。 流體的重量是這種流體的主要驅動來源。[2]

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长江瞿塘峡,河流是明渠流的一種

流的狀態

明渠流的行為是由粘滯力和重力以及流體本身的慣性所控制。表面张力有一些影響,不過在大部份的應用中,表面张力不是主要影響因素。由於流體有自由表面,明渠流中重力多半是最重要影響明渠流的因素。慣力和重力的比例就是明渠流裡最重要旳無因次量[3],此無因次量稱為福祿數 ,定義為

其中

粘滯力相對慣性力的影響可以用雷诺数表示,流體可以分為层流湍流过渡流。不過一般會假設其雷诺数夠大,流體的粘滯力可以忽略[3],流體本身會是湍流。

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公式

可以用針對質量、動量和能量的守恆定律來描述明渠流。其統御方程可以從考慮流速向量場(分量)的動態方程求得。在笛卡儿坐标系下,這些分量對應x軸、y軸和z軸的流速。

為了簡化最後的公式,會進行以下的假設:

  1. 流是不可壓縮流(若是快速變化的流,此假設就不合適)
  2. 雷诺数夠大,粘滯擴散可以忽略
  3. 流是沿著x軸的一維流
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連續性方程式

通用的連續性方程式描述質量的守恆,其形式如下:其中是流體密度散度算子。假設不可壓縮流,有固定的控制體積 ,方程可以表示為。不過,明渠流的截面可能會隨著時間和位置而變化。若從連續性方程式的積分形開始:可以將體積積分分解成截面和長度,因此可以得到下式:在流體不可壓縮、一維流的假設下,方程式可以寫成:利用並且定義體積流率 , 方程式可以簡化如下:最後,可以得到不可壓縮、一維明渠流的方程:

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動量方程

明渠流的動量方程可以從不可壓縮的纳维-斯托克斯方程開始:其中压强動黏度拉普拉斯算子,而重力位。配合高雷諾數以及一維流的假設,可得以下方程:第二個方程中有流体静壓,而渠深度 是自由表面和渠底的距離。將此代入第一個方程,可得:where the channel bed slope 。若要考慮渠道上的剪應力,可以定義受力項為:其中剪應力水力半徑。定義摩擦斜率,是量化摩擦損失的方式,可以得到以下的動量方程式:

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能量方程式

若要推導能量方程式,考慮平流加速度項可以分解如下:其中是流的涡量欧几里得範數。這可以得到一個不考慮外部力的動量方程,為:將方程兩側對進行点积,可得:其中有利用三重积 。定義能量密度注意其中的 是非時變的。可以得到下式:假設能量密度是非時變的,且流是一維流,可以簡化如下:with 為常數,這和伯努利定律等效。明渠流中特別關注的是比能 ,可以計算扬程 ,定義如下:

其中 比重量。不過,實際系統需加上扬程損失項 ,這是考慮因為摩擦力湍流產生的能量耗散,之前因為在動量方程不考慮外力,這些被省略了。

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參考資料

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