時頻分析轉換關係

在時間與頻率的分析領域中，有不少的訊號的單純使用頻域或時域表示，而是同時使用時域與頻域來表示。

有幾種方法或轉換被里昂·柯恩統整組織被稱為"時頻分析"，^[1][2][3]最常被使用的方法稱為「二次」或「雙線性時頻分析」，而此類方法中，最被廣泛使用的方法中以韋格納分布為其中之一，其他的時頻分布則被稱為維格納分佈的摺積版。另一個被廣泛使用的方法為頻譜圖，為「短時距傅立葉轉換」的平方，頻譜圖有著平方必為正的優點，容易由圖理解，但有著不可逆的缺點，如短時距傅立葉轉換不可逆計算，無法從頻譜圖找回原信號。而驗證這些理論與定義驗證可以參考「二次式時頻分布理論」。^[4]

本文主題雖是訊號處理領域，但是藉由量子力學的相空間來推導某些分布從A分布轉換至B分布的過程。一個信號在相同的狀況下，給與不同的時頻分布表示方式，透過簡單的平滑器或濾波器，計算出其他分布。

一般化

如果我們用變數ω=2πf，然後，借用量子力學領域中使用的符號，就可以顯示該時間-頻率表示，如維格納分佈函數和其它雙線性時間-頻率分佈，可表示為

${\displaystyle C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta ,}$ (1)

${\displaystyle \phi (\theta ,\tau )}$為一定義其分布及特性之二維函數。

維格納分布的核為一。但在一般型式裡任何分布的核為一沒有任何的意義，在其他狀況下維格納分布的核應為其他結果。

特徵方程式

特徵方程式為雙傅立葉轉換，從方程式(1)可以得到

${\displaystyle C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint M(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$ (2)

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}M(\theta ,\tau )&=\phi (\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du\\&=\phi (\theta ,\tau )A(\theta ,\tau )\\\end{alignedat}}}$ (3)

${\displaystyle A(\theta ,\tau )}$ 為對稱模糊函數，特徵方程式也可易被稱為廣義模糊函式。

分布之間轉換關係

假設有兩個分布 ${\displaystyle C_{1}}$ and ${\displaystyle C_{2}}$,個別對應核為 ${\displaystyle \phi _{1}}$ and ${\displaystyle \phi _{2}}$，特徵方程式為

${\displaystyle M_{1}(\phi ,\tau )=\phi _{1}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du}$ (4)

${\displaystyle M_{2}(\phi ,\tau )=\phi _{2}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du}$ (5)

方程式(4)、(5)相除得

${\displaystyle M_{1}(\phi ,\tau )={\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\phi ,\tau )}$ (6)

方程式(6)相當重要，其結果使其連接特徵方程式在有線區域內之核不為零。

欲獲得兩分布之間的關係，需使用雙傅立葉轉換並使用方程式(2)

${\displaystyle C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$ (7)

用${\displaystyle C_{2}}$來表示${\displaystyle M_{2}}$

${\displaystyle C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiiint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}C_{2}(t,\omega ^{'})e^{j\theta (t^{'}-t)+j\tau (\omega ^{'}-\omega )}\,d\theta \,d\tau \,dt^{'}\,d\omega ^{'}}$ (8)

可改寫成

${\displaystyle C_{1}(t,\omega )=\iint g_{12}(t^{'}-t,\omega '-\omega )C_{2}(t,\omega ')\,dt^{'}\,d\omega '}$ (9)

其中，

${\displaystyle g_{12}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$ (10)

頻譜與其他雙線性相互關係

我們專注於其中一個從任意代表性的頻譜轉換的情況，在方程式(9)中，${\displaystyle C_{1}}$為頻譜圖而${\displaystyle C_{2}}$ 為任意數，為了簡化符號使用以下表示，${\displaystyle \phi _{SP}=\phi _{1}}$, ${\displaystyle \phi =\phi _{2}}$, ${\displaystyle g_{SP}=g_{12}}$，可被表示為

${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iint g_{SP}(t^{'}-t,\omega ^{'}-\omega )C(t,\omega ^{'})\,dt^{'}\,d\omega ^{'}}$ (11)

頻譜圖的核為

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}g_{SP}(t,\omega )&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {A_{h}(-\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint {\dfrac {1}{\phi (\theta ,\tau )}}h^{*}(u-{\dfrac {1}{2}}\tau )h(u+{\dfrac {1}{2}}\tau )e^{j\theta t+j\tau \omega -j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\dfrac {1}{2}}\tau )h(u+{\dfrac {1}{2}}\tau ){\dfrac {\phi (\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\\end{alignedat}}}$ (12)

令${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1}$, ${\displaystyle g_{SP}(t,\omega )}$為窗函數，然而在${\displaystyle -\omega }$狀況下得

${\displaystyle g_{SP}(t,\omega )=C_{h}(t,-\omega )}$ (13)

使其核滿足 ${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1}$

${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iint C_{s}(t^{'},\omega ^{'})C_{h}(t^{'}-t,\omega ^{'}-\omega )\,dt^{'}\,d\omega ^{'}}$ (14)

其核亦滿足${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1}$

其證明可見Janssen[4]. 當${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )}$不等於1時，

${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iiiint G(t^{''},\omega ^{''})C_{s}(t^{'},\omega ^{'})C_{h}(t^{''}+t^{'}-t,-\omega ^{''}+\omega -\omega ^{'})\,dt^{'}\,dt^{''}\,d\omega ^{\,}d\omega ^{''}}$ (15)

${\displaystyle G(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {e^{-j\theta t-j\tau \omega }}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}\,d\theta \,d\tau }$ (16)