最小上界性

数学中，最小上界性（亦称上确界性，英語：least-upper bound property, LUB）^[1] 是实数集和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性等价^[2] 。 集合X具有最小上界性当且仅当X的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。

任意的有界非空实数集都有一个最小上界。

性質概述

實數

令${\displaystyle S}$為實數集的一個非空子集。

• 如果實數${\displaystyle x}$大於或等於所有${\displaystyle S}$中的元素，則${\displaystyle x}$稱為${\displaystyle S}$的上界。
• 如果實數${\displaystyle x}$是${\displaystyle S}$的上界，并且${\displaystyle x}$小於或等於所有${\displaystyle S}$的上界，則${\displaystyle x}$稱為${\displaystyle S}$的最小上界。

最小上界性的表述為

所有具有上界的非空實數集都有最小上界，且最小上界為實數。

一般序集合

對任意偏序集合${\displaystyle X}$，我們都可以定義${\displaystyle X}$的子集的上界和最小上界，只需把前一段落的「實數」改為「${\displaystyle X}$的元素」即可。

此處最小上界性的表述為

所有具有上界的${\displaystyle X}$的非空子集都有最小上界${\displaystyle x}$，并滿足${\displaystyle x\in X}$。

有理數集并沒有最小上界性，考慮其子集

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}=\mathbb {Q} \cap (-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})}$

它有在有理數集中的上界（例如2），但它的最小上界${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不在有理數集中。

證明

應用

最小上界性可以用來證明許多實分析中的主要定理

中間值定理

波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

極值定理

海涅-博雷爾定理