极值点

数学中，极值点（arguments of the maxima/minima，分别缩写为arg max/arg min或argmax/argmin）是使函数输出值取得极值的输入点。^{[note 1]}函数的自变量在定义域上，因变量则在到达域上。

举例来说，上述未归一化和归一化的sinc函数的${\displaystyle \operatorname {argmax} }$都是{0}，因为两者都在${\displaystyle x=0}$时取得全局最大值1.

未归一化sinc函数（红）的arg min 约为{-4.49, 4.49}，因为在${\displaystyle x=\pm 4.49}$处有两个全局最小值，约为-0.217。归一化sinc函数（蓝）的arg min约为{−1.43, 1.43}，因为它们的全局最小值在${\displaystyle x=\pm 1.43}$处，尽管最小值相同。^[1]

定义

给定任意集合X、全序集Y与函数${\displaystyle f\colon X\to Y}$，则某子集${\displaystyle S\subseteq X}$上的${\displaystyle \operatorname {argmax} }$定义为

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in S\}.}$

若${\displaystyle S=X}$或S在语境中明确，则通常省略S，如${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in X\}.}$也就是说，${\displaystyle \operatorname {argmax} }$是点x的集合，使${\displaystyle f(x)}$到达函数最大值（若存在）。${\displaystyle \operatorname {Argmax} }$可以是空集、单元集，或包含多个元素。

在凸分析与变分分析中，${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$（是广义实数）的情形时的定义略有不同。^[2]这时，若f等同于S上的${\displaystyle \infty }$，则${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing }$（即${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing }$），否则${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$定义如上，这时${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$也可以写成

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}}$

这里要强调的是，这个涉及${\displaystyle \sup {}_{S}f}$的等式只有当f在S上不等同于${\displaystyle \infty }$时才成立。^[2]

Arg min

${\displaystyle \operatorname {argmin} }$（或${\displaystyle \operatorname {arg\,min} }$）表示极小值点，定义与之类似。例如

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}}$

是使函数值${\displaystyle f(x)}$取得极小值的点x。它是${\displaystyle \operatorname {arg\,max} }$的补算子。

在${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$（是广义实数）的情形时，若f在S上等同于${\displaystyle -\infty }$，则${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing }$（即${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing }$），否则${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f}$定义如上，这时它也满足

${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.}$^[2]

例子与性质

例如，若${\displaystyle f(x)=1-|x|}$，则f只有在${\displaystyle x=0}$这一点上取最大值1。因此

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} }$算子与${\displaystyle \max }$不同，给定相同的函数时，后者返回函数极大值，而不是使函数取得极大值的点。也就是说

${\displaystyle \max _{x}f(x)}$ is the element in ${\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

max可以是空集（这时极大值未定义），这与${\displaystyle \operatorname {argmax} }$相同；不同的是${\displaystyle \operatorname {max} }$可能不含多个元素。^{[note 2]}例如，取${\displaystyle f(x)=4x^{2}-x^{4},}$则${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}$但${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$因为函数在${\displaystyle \operatorname {argmax} }$的每个元素上都取相同的值。

等价地，若M是f的极大值，则${\displaystyle \operatorname {argmax} }$是极大值的水平集：

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}$

可以将其重排，得到简单的等式^{[note 3]}

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}$

若极大值点只有一个，那么${\displaystyle \operatorname {argmax} }$应被视为一个点，而非点集。例如

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

（而非单元集${\displaystyle \{5\}}$），因为${\displaystyle x(10-x)}$的极大值25仅在${\displaystyle x=5}$时取到。^{[note 4]}而若在多个点上都取得极大值，${\displaystyle \operatorname {argmax} }$就应被视为点集。例如

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$

因为maximum value of ${\displaystyle \cos x}$的极大值1在${\displaystyle x=0,2\pi ,\ 4\pi }$时取到。在整条实数线上

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}$因此是无限集。

函数不必达到极大值，因此${\displaystyle \operatorname {argmax} }$有时是空集。例如${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing }$，因为${\displaystyle x^{3}}$在实数线上无界。再举个例子，${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing }$，虽然${\displaystyle \arctan }$有界（${\displaystyle \pm \pi /2}$），但由极值定理，闭区间上的连续实值函数必有极大值，因此有非空的${\displaystyle \operatorname {argmax} }$。

另见

• 函数的自变量
• 极值
• 众数 (数学)
• 最优化
• 核 (线性算子)