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柯西剛性定理

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柯西剛性定理(Cauchy's theorem)是几何学的定理,得名自數學家奧古斯丁-路易·柯西。柯西剛性定理提到二個三維的凸多面體若有其對應面都全等,則兩者多胞形本身也會全等。若將凸多面體展開,使各面都在同一個平面上,再加上多面體的哪些面會相連的說明,這可以確定多面體的形狀,而且符合的多面體只會有一個。例如,立方體的展開圖會是六個正方形,若有一個凸多面體,展開後也是六個正方形,且各面連接方式和立方體展開圖相同,則該多面體一定是立方體。不可能有其他不是立方體,但展開圖和立方體相同的凸多面體。

柯西剛性定理是結構剛性英语Structural rigidity理論的基礎。若有人用剛性材質組成凸多胞形的面,使各面不會變形,面和面之間有鉸鏈相連,所組成的多面體會是剛性結構。

敘述

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正二十面體,本身也是凸多面體

PQ是組合等價的三維凸多面體,也就是說這二個是同構face lattic的凸多面體,再者,PQ每一對對應的面都互相全等(在進行剛體的平移或旋轉運動後就相同),則凸多面體PQ也是全等的。

上述要求的凸多面體是必要的。考慮一個正二十面體,可以將一個頂點往內壓,形成一個非凸的多面體,和原多面體仍然是組合等價,但二者是不同的。

歷史

此結果源自歐幾里得的《几何原本》,其中提到二個多面體若每一對應面都相等,則二個多面體相同。此一版本的定理是由柯西以约瑟夫·拉格朗日之前的研究為基礎,在1813年證明的。在他證明中用到的主要引理裡有一個錯誤,後來是由恩斯特·施泰尼茨英语Ernst SteinitzIsaac Jacob Schoenberg英语Isaac Jacob Schoenberg亞歷山大·亞歷山德羅夫英语Aleksandr Danilovich Aleksandrov所修正的。更正後的柯西證明又短又優雅,可以列在数学天書中的证明英语Proofs from THE BOOK[1]

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參考資料

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