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梅滕斯猜想

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梅滕斯猜想
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梅滕斯猜想数论中的一个猜想,是有關數論中梅滕斯函数上下界的猜想,由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特弗朗茨·梅滕斯(Franz Mertens)的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出黎曼猜想,不过已被安德鲁·奥德里兹科英语Andrew Odlyzko赫尔曼·特里尔英语Herman te Riele于1985年证否。

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图示为梅滕斯函数的前10000项与默滕斯猜想中的界限。梅滕斯在計算梅滕斯函數的前一萬個值之後,猜想的絕對值恆小於,此猜想被安德鲁·奥德里兹科(Andrew Odlyzko)与赫尔曼·特里尔(Herman te Riele)于1985年证否
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定义

数论中,有梅滕斯函数

其中,表示默比乌斯函数。则梅滕斯猜想是指,对所有,有

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猜想的證否

湯姆斯·斯蒂爾吉斯在1885年聲稱已證明比梅滕斯猜想要弱的結果,也就是有界,但其結果沒有發表[1](若用的方式表示,梅滕斯猜想是指

安德鲁·奥德里兹科英语Andrew Odlyzko赫尔曼·特里尔英语Herman te Riele在1985年證否了梅滕斯猜想,用的是LLL格缩减算法英语Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm[2][3]

and

之後也證實了第一個反例小於 [4],大於1016[5],後來的上限已降到[6]或近似,但還沒找到確切的反例數值。

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參考資料

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