概周期函数

在数学中，概周期函数（或殆周期函数）是一类有近似于周期性质的函数，是连续週期函數的推廣。不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引進，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广^[1]。贝西科维奇（英语：Abram Samoilovitch Besicovitch）因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的亚当斯奖（英语：Adams Prize）^[2]。

定义

概週期函數有若干個等價定義。根据哈那德·玻尔引进的分析學上的定义，一个定义域在实数域上的连续函数${\displaystyle f}$ 如果满足：对任意正实数${\displaystyle \epsilon }$，都存在实数${\displaystyle l(\epsilon )>0}$，使得任意长度为${\displaystyle l(\epsilon )}$ 的区间里至少存在一个数${\displaystyle t}$，使得对于任意的${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$，都有：

${\displaystyle \left|f(x+t)-f(x)\right|<\epsilon }$^[3]

在高维欧几里得空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中，也可以定义类似的概周期向量函数。

按照定义，所有周期函数都是概周期函数。

值域在復平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函数：ζ(s) 截出有限項后，得到的是一些形如

${\displaystyle e^{(\sigma +{\rm {{i}t)\log n}}}\,}$

的項。其中的${\displaystyle \sigma +{\rm {{i}t=s}}}$。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線（也就是說固定s 的實數部份${\displaystyle \sigma }$，而實數${\displaystyle t}$ 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成：

${\displaystyle t\mapsto n^{\sigma }e^{(\log n)it}\,}$

如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免${\displaystyle \sigma <1}$ 時的解析开拓的問題），那麼由於對不同的n，${\displaystyle e^{(\log n)it}}$是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中，哈那德·玻尔開始注意形如：

${\displaystyle t\mapsto \sum _{k=1}^{m}e^{i\lambda _{k}t}\,}$

的三角多项式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數${\displaystyle e^{i\lambda _{k}t}\,}$的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果对每个${\displaystyle \epsilon >0}$，都存在三角多项式函数：${\displaystyle T_{\epsilon }(x)}$，使得对于任意的${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$，都有：

${\displaystyle \left|f(x)-T_{\epsilon }(x)\right|<\epsilon }$

可以證明，這個定義與第一個定義是等價的^[1]。

例子

考虑若干三角多项式函数：

${\displaystyle f_{n}:\,x\longmapsto \sum _{k=1}^{n}\exp(i\lambda _{k}x)}$

其中${\displaystyle \lambda _{k}}$ 是复数。每一个${\displaystyle f_{n}}$ 都是周期函数，因此有限个${\displaystyle f_{n}}$ 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说：

${\displaystyle f:\,x\longmapsto \exp(ix)+\exp(i\pi x)}$

${\displaystyle f}$不是周期函数，但仍然是概周期函数。

性质

• 如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。
• 如果${\displaystyle f}$ 是概周期函数，那么对于任意实数${\displaystyle a}$，${\displaystyle f(x+a)}$、${\displaystyle f(ax)}$、${\displaystyle af(x)}$、${\displaystyle |f(x)|}$ 也是概周期函数。
• 如果${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 都是概周期函数，那么${\displaystyle f+g}$、${\displaystyle f-g}$ 和${\displaystyle f\cdot g}$ 都是概周期函数。
• 如果${\displaystyle f(x)}$ 是概周期函数，${\displaystyle H}$是${\displaystyle f}$ 的值域到${\displaystyle \mathbb {R} }$上的一致连续函数, 则${\displaystyle H(f(x))}$也是概周期函数。
• 如果概周期函数的序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$在实轴上一致收敛于函数${\displaystyle f(x)}$ ，则${\displaystyle f(x)}$ 也是概周期函数。
• 如果${\displaystyle f(x)}$ 是概周期函数, 则${\displaystyle f'(x)}$ 为概周期函数的充分必要条件是${\displaystyle f(x)}$ 的导函数${\displaystyle f'(x)}$ 一致连续。
• 如果${\displaystyle f(x)}$ 是概周期函数，${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}$，则${\displaystyle F(x)}$ 为概周期函数的充要条件为${\displaystyle F(x)}$ 有界^[3][1]。

参看

• 伪概周期函数
• 准周期函数
• 非周期函数
• 傅里叶级数
• 计算机音乐