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立方体堆砌
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立方体堆砌(Cubic Honeycomb)[2]是三维空间内唯一的正密铺,也是28个半正密铺之一,由立方体堆砌而成,其縮寫為chon[3]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体,因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。
立方形家族里的多胞形二胞角总是90°,因此总能独自完成超平面密铺,这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”,具有对称性,有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。
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性質
立方体堆砌由立方體填滿空間組成,每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。

立方体堆砌頂點的笛卡爾坐標為:
因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。
由於立方体堆砌是一個自身對偶多胞形,因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方体堆砌,因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子,而i,j,k值則為相鄰立方体幾何中心距離的整數倍。
正交投影
相關堆砌
立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比,他們的形式皆為{4,3,...,3,4},為立方形堆砌家族的一部份,在這個系列的鑲嵌都是自身对偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。
自然界中的立方体堆砌

作为少有的三维半正堆砌,自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构,在固体物理学中被称为“立方晶系”,许多固体化合物,如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质,如铝、钒、锂等,都具有这种晶系的结构。
簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性,通過較低的晶系代表:
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表面著色
作为立方形堆砌家族其中一员,立方体堆砌有对称性,有施莱夫利符号{4,3,4},考克斯特符号,除此之外,作为一个空间堆砌,它有Pm3m空间平移对称性。
而然,立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌,它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表:
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相關多面體和鑲嵌
立方体堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似,但超正方體只存在四維空間,且每個邊的周為只有三個正方體而立方体堆砌有四個。此外,也可以有每個邊的周為有五個正方體,他稱為五階立方体堆砌,存在於雙曲空間,施萊夫利符號為{4,3,5}。
考克斯特群[4,3,4]、產生15個排列均勻的鑲嵌中,9個具有獨特的的幾何形狀,包括交替立方体堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。
考克斯特群[4,31,1], , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中,其中4個具有獨特的的幾何形狀,包括交替立方体堆砌。
立方體堆砌是考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌[4]之一,其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性:
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参考
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