测度收敛

测度收敛是测度论中的一个概念： 假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ，我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度 ${\displaystyle \mu _{n}}$ ，随着 ${\displaystyle n}$ 的增大， ${\displaystyle \mu _{n}}$ 的性质与 ${\displaystyle \mu }$ 越来越相似。 '越来越相似' 和一般的 序列的极限的想法一致：对于任何可接受的误差 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，只要 ${\displaystyle N}$ 充分大， 对于任何 ${\displaystyle n\geqslant N}$ ， ${\displaystyle \mu _{n}}$ 和 ${\displaystyle \mu }$ 之间的'差别'小于 ${\displaystyle \varepsilon }$ 。 收敛的定义也就取决于'差别'的定义。 这些定义可能互相不等价，强弱有别。

下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。

测度的总变差收敛

测度的强收敛

测度的弱收敛

在数学和统计学中, 弱收敛 (即为泛函分析中的 弱*收敛)是 测度论中广泛应用的一种收敛。 下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 portmanteau定理.^[1]

定义 ${\displaystyle S}$ 为拥有 Borel σ-代数 ${\displaystyle \Sigma }$的 度量空间 。我们称一列(S, Σ)上的 概率测度 ${\displaystyle P_{n}}$ , ${\displaystyle n=1,2,...}$ 弱收敛于概率测度 ${\displaystyle P}$ ,（记为

${\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}$）

如果下面任何一条条件得到满足 ( ${\displaystyle E_{n}}$ 为关于概率 ${\displaystyle \mu }$ 的数学期望，${\displaystyle E}$ 为关于概率 ${\displaystyle P}$ 的数学期望):

• ${\displaystyle E_{n}f\rightarrow Ef}$ 对于任何有界连续的函数 ${\displaystyle f}$,
• ${\displaystyle E_{n}f\rightarrow Ef}$ 对于任何有界且满足 Lipschitz条件的函数 ${\displaystyle f}$ ,
• ${\displaystyle \limsup E_{n}f\geqslant Ef}$ 对于任何有上界的 上半连续 的函数 ${\displaystyle f}$ ,
• ${\displaystyle \liminf E_{n}f\geqslant Ef}$ 对于任何有下界的 下半连续 的函数 ${\displaystyle f}$ ,
• ${\displaystyle \limsup P_{n}(C)\geqslant P(C)}$ 对于任何空间S中的闭集 ${\displaystyle C}$ ;
• ${\displaystyle \liminf P_{n}(U)\geqslant P(U)}$ 对于任何空间S中的开集 ${\displaystyle U}$ ;
• ${\displaystyle \lim P_{n}(A)\geqslant P(A)}$ 对于任何关于概率P连续的集合${\displaystyle A}$ .