牛奶凍曲線

牛奶凍曲线（blancmange curve）又称为高木曲线，因為在1901年由高木貞治所研究。另外也稱为 Takagi-Landsberg 曲线，一種更一般化的曲線，以高木貞治和 Georg Landsberg 的名字命名。 牛奶凍曲線也是 de Rham 曲线的特例。

牛奶凍函數的圖形

定義

定義域為單位區間的牛奶凍函數定義為

${\displaystyle b(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},}$

其中 ${\textstyle s}$ 是三角波函數，定義為 ${\displaystyle s(x)=\min _{n\in \mathbb {N} }\left|x-n\right|}$。

而 Takagi–Landsberg 曲線的定義是更一般化的：

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x),}$

其中${\displaystyle w}$是一個變數使${\displaystyle |w|<1}$。

• 
  parameter w=2/3
• 
  parameter w=1/2
• 
  parameter w=1/3
• 
  parameter w=1/4
• 
  parameter w=1/8

性質

收斂與連續性

以${\displaystyle w}$（${\displaystyle |w|<1}$）為參數無限和${\displaystyle T_{w}(x)}$對所有${\displaystyle x}$絕對收斂：因為對所有${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$有${\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}$，從而

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$。

以${\displaystyle w}$為參數的${\displaystyle T_{w}(x)}$也是連續的。因為可以如下證明${\textstyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$均勻收斂到${\displaystyle T_{w}}$：

${\displaystyle \left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$ 對所有 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$。

其值在${\displaystyle n}$夠大時可以任意的小。再根據均勻極限定理（英语：Uniform limit theorem），${\displaystyle T_{w}}$連續。

次可加性

${\displaystyle T_{w}}$具有次可加性。

拋物線

當${\textstyle w={\frac {1}{4}}}$，${\displaystyle T_{w}}$的圖形是拋物線，且用中點細分的構造方法曾被阿基米德描述。

可微性

對所有${\displaystyle 0<w<1/2}$，${\displaystyle T_{w}}$在任意不是二进分数的${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$是可微的，且其結果是

${\displaystyle T_{w}'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(-1)^{x_{-n-1}},}$

其中${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$是${\displaystyle x}$的二進位表達式的序列，也就是滿足${\textstyle x=\sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}x_{n}}$的序列。