矩阵分裂

数值线性代数中，矩阵分裂（matrix splitting）是一种将给定矩阵表为多个矩阵和或差的表示。很多迭代法（如解微分方程组的）都依赖于直接求解比三对角矩阵更一般的矩阵的方程，若将其分裂，通常可以更高效地求解。这项技术由Richard S. Varga（1960）发明。^[1]

正则分裂

解矩阵方程

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {k} ,}$

1

其中A是给定n阶非奇异方阵，k是给定n元列向量。A可分裂为

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C} ,}$

2

B、C都是n阶方阵。对元素非负的任意n阶方阵M，可以记作${\displaystyle \mathbf {M} \geq \mathbf {0} }$。若M元素均为正数，可以记作${\displaystyle \mathbf {M} >\mathbf {0} }$。相似地，若${\displaystyle \mathbf {M} _{1}-\mathbf {M} _{2}}$的元素非负，可以记作${\displaystyle \mathbf {M} _{1}\geq \mathbf {M} _{2}}$。

定义： 若${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\geq 0,\ \mathbf {C} \geq \mathbf {0} }$，则${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C} }$是A的一个正则分裂（regular splitting）。

假设矩阵方程形式为

${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {x} =\mathbf {g} ,}$

3

其中g是给定列向量，可直接求解x。若(2)表示A的正则分裂，则迭代法

${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {C} \mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {k} ,\quad m=0,1,2,\ldots ,}$

4

其中${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}}$是任意向量。(4)可等价地改写为

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {k} ,\quad m=0,1,2,\ldots }$

5

若(2)表示A的正则分裂，则矩阵${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {C} }$的元素非负。^[2]

可以证明，若${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\geq \mathbf {0} }$，则${\displaystyle \rho (\mathbf {D} )<1}$，其中${\displaystyle \rho (\mathbf {D} )}$表示D的谱半径，因此D是收敛矩阵。于是，迭代法(5)必然收敛。^[3][4]

此外，若选择分裂(2)，使B是对角矩阵（由于B可逆，所以对角项全部不为零），则B可在线性时间内求得逆（见时间复杂度）。

矩阵迭代法

很多迭代法都可描述为矩阵分裂。若A的对角项都是非零的，且A表为矩阵和

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {D} -\mathbf {U} -\mathbf {L} ,}$

6

其中D是A的主对角线元素构成的对角矩阵，U、L分别是n阶严格上、下三角矩阵，则有：

雅可比法可表为

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {D} ^{-1}(\mathbf {U} +\mathbf {L} )\mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {k} .}$[5][6]

7

高斯-赛德尔迭代可表为

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(m+1)}=(\mathbf {D} -\mathbf {L} )^{-1}\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(m)}+(\mathbf {D} -\mathbf {L} )^{-1}\mathbf {k} .}$[7][6]

8

逐次超松弛迭代法可表为

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(m+1)}=(\mathbf {D} -\omega \mathbf {L} )^{-1}[(1-\omega )\mathbf {D} +\omega \mathbf {U} ]\mathbf {x} ^{(m)}+\omega (\mathbf {D} -\omega \mathbf {L} )^{-1}\mathbf {k} .}$[8][6]

9

例子

正则分裂

方程(1)中，令

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}6&-2&-3\\-1&4&-2\\-3&-1&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}5\\-12\\10\end{pmatrix}}.}$

10

应用雅可比中的分裂(7)：将A分裂，使B包含A的所有对角元素，C包含A的所有对角线外元素并取负（当然这不是将矩阵分裂为两矩阵的唯一有效方法），则有

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}6&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}0&2&3\\1&0&2\\3&1&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

11

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {A^{-1}} ={\frac {1}{47}}{\begin{pmatrix}18&13&16\\11&21&15\\13&12&22\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B^{-1}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{6}}&0&0\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}&0\\[4pt]0&0&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} =\mathbf {B^{-1}C} ={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B^{-1}k} ={\begin{pmatrix}{\frac {5}{6}}\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

由于${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\geq \mathbf {0} ,\ \mathbf {C} \geq \mathbf {0} }$，分裂(11)是正则分裂。由于${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}>\mathbf {0} }$，谱半径${\displaystyle \rho (\mathbf {D} )<1}$（D的近似特征值是${\displaystyle \lambda _{i}\approx -0.4599820,-0.3397859,0.7997679}$）。因此D收敛，迭代法(5)对(10)收敛。注意A的对角元均大于零，非对角元均小于零，且A是强对角占优矩阵。^[9]

迭代法(5)应用于(10)，形式为

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(m+1)}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\begin{pmatrix}{\frac {5}{6}}\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots }$

12

(12)的精确解为

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}.}$

13

以${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}=(0.0,\ 0.0,\ 0.0)^{T}}$为初向量，列出(12)的前几次迭代。可见此方法明显收敛到解(13)，不过速度相当缓慢。

${\displaystyle x_{1}^{(m)}}$	${\displaystyle x_{2}^{(m)}}$	${\displaystyle x_{3}^{(m)}}$
0.0	0.0	0.0
0.83333	-3.0000	2.0000
0.83333	-1.7917	1.9000
1.1861	-1.8417	2.1417
1.2903	-1.6326	2.3433
1.4608	-1.5058	2.4477
1.5553	-1.4110	2.5753
1.6507	-1.3235	2.6510
1.7177	-1.2618	2.7257
1.7756	-1.2077	2.7783
1.8199	-1.1670	2.8238

雅可比法

雅可比法(7)与上面演示的正则分裂(11)相同。

高斯-赛德尔法

由于(10)中矩阵A的对角项均非零，可以用分裂(6)表示A，其中

${\displaystyle \mathbf {D} ={\begin{pmatrix}6&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix}},\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\3&1&0\end{pmatrix}}.}$

14

则有

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {(D-L)^{-1}} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}20&0&0\\5&30&0\\13&6&24\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {(D-L)^{-1}U} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}0&40&60\\0&10&75\\0&26&51\end{pmatrix}},\quad \mathbf {(D-L)^{-1}k} ={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}100\\-335\\233\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

将高斯-赛德尔法(8)应用于(10)有如下格式

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(m+1)}={\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}0&40&60\\0&10&75\\0&26&51\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\frac {1}{120}}{\begin{pmatrix}100\\-335\\233\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots }$

15

以${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}=(0.0,\ 0.0,\ 0.0)^{T}}$为初向量，列出(15)的前几次迭代。可见方法明显收敛到解(13)，且比雅可比法快。

${\displaystyle x_{1}^{(m)}}$	${\displaystyle x_{2}^{(m)}}$	${\displaystyle x_{3}^{(m)}}$
0.0	0.0	0.0
0.8333	-2.7917	1.9417
0.8736	-1.8107	2.1620
1.3108	-1.5913	2.4682
1.5370	-1.3817	2.6459
1.6957	-1.2531	2.7668
1.7990	-1.1668	2.8461
1.8675	-1.1101	2.8985
1.9126	-1.0726	2.9330
1.9423	-1.0479	2.9558
1.9619	-1.0316	2.9708

逐次超松弛迭代法

置${\displaystyle \omega =1.1}$。由分裂(14)，有

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {(D-\omega L)^{-1}} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0.55&3&0\\1.441&0.66&2.4\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {(D-\omega L)^{-1}[(1-\omega )D+\omega U]} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}-1.2&4.4&6.6\\-0.33&0.01&8.415\\-0.8646&2.9062&5.0073\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {\omega (D-\omega L)^{-1}k} ={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}11\\-36.575\\25.6135\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

将SOR法(9)应用于(10)，则有

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(m+1)}={\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}-1.2&4.4&6.6\\-0.33&0.01&8.415\\-0.8646&2.9062&5.0073\end{pmatrix}}\mathbf {x} ^{(m)}+{\frac {1}{12}}{\begin{pmatrix}11\\-36.575\\25.6135\end{pmatrix}},\quad m=0,1,2,\ldots }$

16

以${\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}=(0.0,\ 0.0,\ 0.0)^{T}}$为初向量，列出(16)的前几次迭代。可见SOR法收敛到解(13)，比GS法略快。

${\displaystyle x_{1}^{(m)}}$	${\displaystyle x_{2}^{(m)}}$	${\displaystyle x_{3}^{(m)}}$
0.0	0.0	0.0
0.9167	-3.0479	2.1345
0.8814	-1.5788	2.2209
1.4711	-1.5161	2.6153
1.6521	-1.2557	2.7526
1.8050	-1.1641	2.8599
1.8823	-1.0930	2.9158
1.9314	-1.0559	2.9508
1.9593	-1.0327	2.9709
1.9761	-1.0185	2.9829
1.9862	-1.0113	2.9901

另见

• 矩阵分解
• M-矩阵（英语：M-matrix）
• 斯蒂尔杰斯矩阵（英语：Stieltjes matrix）