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累进可除数

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累进可除数(英語:Polydivisible number)是有以下特質的整數:首個位非零,而且由它首個位組成的數是倍數

例如345654:

而123456就非累进可除数,因為1234不是4的倍數。

累进可除数可以在不同的进位制中定義。本條目僅談論十進制中的情況。

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背景

累进可除数是趣味數學上的一道名題的一般化:

用1至9排列成一個數,使其首2個位能被2除盡,首3個位能被3除盡,如此類推,整個數是9的倍數。

雖然9位的累进可除数有2492個,但唯一一個包含1至9的數字而不重覆的只有一個,是381,654,729。

累进可除数的數目

位的累进可除数,若有之間有數可以被整除,便可以擴充一個位,成為n位的累进可除数。若,必定可以由位的累进可除数擴充成n位的累进可除数,且有多於一個可行的擴充辦法。反之,若越大,能夠擴充成為另一個累进可除数的辦法隨之而越少。因此,將累进可除数的分布畫成曲線圖,會得出一條鐘形曲線

平均來說,每個位的累进可除数擴充成n位的累进可除数有種方法。這產生了以下這條用以估計n位的累进可除数數目的公式(以表示位累进可除数的數目):

將所有之值加起來套入此式,就得出所有累进可除数的數目:

Thumb
藍線—實際的數目;紫線—估計的數目
更多信息 位數 ...

最長的累进可除数有25位,等於360,852,885,036,840,078,603,672,5。

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相關問題

  • 泛位數中數字0~9各出現一次的累進可除數,唯一的解是381,654,729,0
  • 在累进可除数上的數字運用加上限制。例如:求最長的累进可除数其數字均為偶數。答案是480,006,882,084,660,840,40。
  • 找尋回文累进可除数。這類數最長的是300,006,000,03。
  • 找出其他進位制中的累进可除数。

外部連結

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