维维亚尼定理

维维亚尼(Viviani)定理說明：在等邊三角形內任意一點P跟三邊的垂直距離之和，等於三角形的高。

這個定理可一般化為：等角多邊形內任意一點P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點的位置無關。

它以温琴佐·维维亚尼命名。

证明

设${\displaystyle \triangle ABC}$为等边三角形，${\displaystyle P}$为其内部一点。设${\displaystyle s}$为其边长，${\displaystyle h}$为高，${\displaystyle l,\;m,\;n}$为${\displaystyle P}$到各边的距离。那么：

${\displaystyle S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP},}$

${\displaystyle {\frac {sh}{2}}={\frac {sl}{2}}+{\frac {sm}{2}}+{\frac {sn}{2}},}$

${\displaystyle h=l+m+n.}$

Q.E.D.

參考

• http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml （页面存档备份，存于互联网档案馆）