维纳-霍普夫方法

维纳-霍普夫方法（Wiener–Hopf method）是一种广泛应用于应用数学领域的数学技巧。该方法最初由诺伯特·维纳和艾伯哈德·霍普夫提出，用以求解积分方程组，但随后在具有混合边界条件的二维偏微分方程求解中得到了更为广泛的应用。总体而言，这一方法的核心思想是利用变换函数的复分析性质。通常采用标准的傅里叶变换，但在某些情况下，也可使用其他类型的变换，如梅林变换等。

在一般情况下，首先控制方程与边界条件进行变换,借此定义出一对复函数（通常分别以“+”与“−”作下标标记），它们分别在复平面的上半平面与下半平面内解析，并且在各自区域内的增长速度不超过多项式级。这两函数在复平面上的某一区域（通常为包含实轴的狭长带状区域）相互重合。由于解析延拓原理，这两函数可视为定义了一个在整个复平面上解析的单一函数。根据刘维尔定理，该函数应为一个未知多项式，而该多项式往往是常数或零。通过分析边界的端点与拐角处的条件，可以确定此多项式的次数。

维纳-霍普夫方法中的基本方程形式如下：

${\displaystyle A(\alpha )\Xi _{+}(\alpha )+B(\alpha )\Psi _{-}(\alpha )+C(\alpha )=0,}$

其中，${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$为已知的全纯函数，而${\displaystyle \Xi _{+}(\alpha )}$和${\displaystyle \Psi _{-}(\alpha )}$为未知函数。该方程在复平面变量${\displaystyle \alpha }$的带状区域${\displaystyle \tau _{-}<{\mathfrak {Im}}(\alpha )<\tau _{+}}$内成立。求解${\displaystyle \Xi _{+}(\alpha )}$与${\displaystyle \Psi _{-}(\alpha )}$的问题，即被称为维纳-霍普夫问题^[1]。

参见

• 维纳滤波
• 黎曼–希尔伯特问题