腎形線

腎形線（nephroid）是外形類似腎臟的平面曲线，其英文nephroid源自希腊语的 ὁ νεφρός （ho nephros），和腎臟科的英文nephrology有相同的字根。腎形線主要是指Richard A. Proctor（英语：Richard A. Proctor）在1878年提出的曲線，不過有時也會用來描述其他曲線^[1][2]。

腎形線可以用在一圓上滖動的圓來產生

腎形線是六度的代數曲線，可以用一個半徑為 ${\displaystyle a}$的圓在半徑為${\displaystyle 2a}$的固定圓上滾動而得，因此腎形線也屬於外摆线，有二個尖點。腎形線是平面的簡單閉曲線，因此也是若爾當曲線。

方程式

腎形線的定義

杯底的腎形線焦散（英语：Caustic (optics)）

考慮一小圓在一固定圓的外面滾動，若小圓的半徑為${\displaystyle a}$，固定圓的圓心在${\displaystyle (0,0)}$，半徑為${\displaystyle 2a}$，小圓的滾動角為${\displaystyle 2\varphi }$，啟始點為${\displaystyle (2a,0)}$（如圖所示），則可以得到腎形線的

• 參數式

${\displaystyle x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi }$

將 ${\displaystyle x(\varphi )}$ 和 ${\displaystyle y(\varphi )}$ 代入以下方程

• ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}$

可知上述方程即為腎形線的隱函數表示式（英语：Implicit curve）。

若尖點是在Y軸上，則參數式為

${\displaystyle x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi ).}$

隱函數表示式為

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.}$

性質

上述的腎形線，有以下的性質

• 弧长為${\displaystyle L=24a,}$
• 面积為${\displaystyle A=12\pi a^{2}\ }$
• 曲率半徑為 ${\displaystyle \rho =|3a\sin \varphi |.}$