萊布尼茨函數

在仿射幾何和歐氏幾何中，萊布尼茨向量和標量函數是把點對應到向量或數量的函數。這種函數和重心關係密切；用重心可以給出函數的簡潔形式。

萊布尼茨向量函數

考慮仿射空間${\displaystyle E}$和相伴的向量空間${\displaystyle V}$。設${\displaystyle (A_{i})_{i=1\cdots n}}$是${\displaystyle n}$點的族，${\displaystyle (a_{i})_{i=1\cdots n}}$是${\displaystyle n}$數量的族。與系統${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}}$相伴的萊布尼茨向量函數是從${\displaystyle E}$到${\displaystyle V}$的映射，把點${\displaystyle M}$對應到向量${\displaystyle {\vec {f}}(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {MA_{i}}}}$。

設係數和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}}$為零，那麼函數是常值。如果有一個係數非零（例如${\displaystyle a_{1}}$），這常值等於${\displaystyle a_{1}{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}}$，其中${\displaystyle G_{1}}$是系統${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=2\cdots n}\right\}}$的重心。

設係數和非零，函數可化簡成

${\displaystyle {\vec {f}}(M)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right){\overrightarrow {MG}}}$

這個性質使得多個向量的線性組合可以藉由重心化簡成一個向量。如果向量空間是有限維，由此可以給出重心的座標。

其實${\displaystyle {\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}{\vec {f}}(O)={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {OA_{i}}}}$。

把上式轉為座標就是

${\displaystyle x_{G,k}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{A_{i},k}}$

萊布尼茨標量函數

考慮歐幾里得仿射空間${\displaystyle E}$和相伴的域${\displaystyle \mathbb {K} }$。設${\displaystyle (A_{i})_{i=1\cdots n}}$是${\displaystyle n}$點的族，${\displaystyle (a_{i})_{i=1\cdots n}}$是${\displaystyle n}$數量的族。與系統${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}}$相伴的萊布尼茨標量函數，是從${\displaystyle E}$到${\displaystyle \mathbb {K} }$的映射，把點M對應到數量${\displaystyle f(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}}$。

設係數和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}}$為零，那麼函數可化簡成

${\displaystyle f(M)=f(O)+2{\overrightarrow {MO}}\cdot {\vec {u}}}$

其中${\displaystyle {\vec {u}}}$等於與這系統相伴的萊布尼茨向量函數的常值，${\displaystyle O}$是任意固定點。

設係數和非零，那麼函數可化簡成

${\displaystyle f(M)=f(G)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)MG^{2}}$

其中${\displaystyle G}$是系統${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}}$的重心。

這個化簡令點的位置問題可以很容易解決（見萊布尼茨定理）。

例：在2維情形，集${\displaystyle M}$適合${\displaystyle f(M)=k}$的是

• 當係數和為零
  • 與${\displaystyle {\vec {u}}}$垂直的直線，如果${\displaystyle {\vec {u}}}$非零
  • 整個平面或空集（取決於${\displaystyle k}$的值），如果${\displaystyle {\vec {u}}}$為零
• 當係數和非零
  • 圓心為${\displaystyle G}$的圓，點${\displaystyle G}$或空集（取決於${\displaystyle k}$的值）

參見

• 萊布尼茨定理
• 重心 (仿射幾何)