解析延拓

解析延拓（英語：Analytic continuation）是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函数與黎曼ζ函數。

初步闡述

自然對數虛部之解析延拓

若 ${\displaystyle f}$ 為一解析函數，定義於複平面 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中之一開子集 ${\displaystyle U}$，而 ${\displaystyle V}$ 是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中一更大且包含 ${\displaystyle U}$ 之開子集。${\displaystyle F}$ 為定義於 ${\displaystyle V}$ 之解析函數，並使

${\displaystyle \displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

則 ${\displaystyle F}$ 稱為 ${\displaystyle f}$ 之解析延拓。換過來說，將 ${\displaystyle F}$ 函數限制在 ${\displaystyle U}$ 則得到原先的f函數。

解析延拓具有唯一性：

若 ${\displaystyle V}$ 為兩解析函數 ${\displaystyle F_{1}}$ 及 ${\displaystyle F_{2}}$ 的連通定義域，並使 ${\displaystyle V}$ 包含 ${\displaystyle U}$ ；若在 ${\displaystyle U}$ 中所有的 ${\displaystyle z}$ 使得

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z)}$，

則在 ${\displaystyle V}$ 中所有點

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$。

此乃因 ${\displaystyle F_{1}-F_{2}}$ 亦為一解析函數，其值於 ${\displaystyle f}$ 的開放連通定義域 ${\displaystyle U}$ 上為0，必導致整個定義域上的值皆為0。此為全純函數之惟一性定理的直接結果。

应用

在复分析处理过程中定义函数的通常做法是，首先在较小的定义域中具体定义函数，然后通过解析延拓将其扩展到指定范围。在实际操作中，为了实现函数的连续性，我们需要在较小的定义域中建立函数方程， 然后通过这个方程拓展定义域。例如黎曼ζ函数和Γ函数。全覆盖的概念最早用来定义解析函数解析延拓之后的自然定义域。寻找函数解析延拓后的最大定义域的想法最后导致了黎曼面的诞生。

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