费希尔方程

提示：此条目的主题不是金融数学中的費雪方程式。

在数学中， 费希尔方程（Fisher equation），是由生物学家罗纳德·艾尔默·费希尔于1936年为了研究人群中某基因的传播，以及逻辑型的生长-扩散现象而引入的一个非线性偏微分方程。此方程可以描述一些在生物学和化学系统中出现的波的传播现象，例如燃烧、扩散和传质、非线性扩散、生态学以及反应堆中的中子数量等等^[1]。费希尔方程可写成以下形式:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=au(1-u)}$ ^[1][2][3]。

费希尔方程是费希尔-柯尔莫哥洛夫方程的一种特例。^[4]

解析解

费希尔方程的行波解（traveling-wave solution）为：

${\displaystyle w(x,t)=\pm \xi ^{2}\varphi (\xi )}$ 且 ${\displaystyle \xi =C_{1}exp({\frac {1}{6}}{\sqrt {6a}}x+{\frac {5}{6}}at)}$

其中，${\displaystyle \varphi (\xi )}$ 通过隐函数定义为：

${\displaystyle \xi =\int {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\sqrt {\pm (4\varphi ^{3}-1)}}}-C_{2}}$

C₁ 和 C₂ 为任意的常数。上述定义的反函数对应着魏爾斯特拉斯橢圓函數，即

${\displaystyle \varphi (\xi )=\wp (\xi +C_{3},0,1)}$ ^[2]

行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

费希尔方程行波图

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