赫尔维茨ζ函数

赫尔维茨ζ函数(Hurwitz zeta function)定义如下

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.}$

复空间赫尔维茨ζ函数

其中${\displaystyle q}$、${\displaystyle s}$都是复数，并且有${\displaystyle Re(q)>0}$,${\displaystyle Re(s)>0}$

对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数.

黎曼ζ函数=${\displaystyle \zeta (s,1)}$

级数展开

赫尔维茨ζ函数可以展开成级数：:^[1]

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}$

此级数在S空间的紧空间子集中均匀收敛成为一个整函数。

积分式

赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt}$

其中 ${\displaystyle \Re s>1}$ 及${\displaystyle \Re q>0.}$

赫尔维茨公式

${\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}$

其中

${\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})}$

对于 ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ and s > 1成立，其中 ${\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)}$代表 多重对数.

泰勒展开

赫尔维茨ζ函数的导数是平移：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).}$

因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数可表示为:

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}$

或

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),}$

其中 ${\displaystyle |q|<1}$.^[2]

与Θ函數的关系

令${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$ 代表 雅可比 Θ函數, 则

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}$

对于 ${\displaystyle \Re s>0}$ and 复数z 成立，但对于 z=n 整数，则有

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}$

其中 ζ 代表黎曼ζ函数.

推广

正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数有下列关系:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .}$

For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:^[3]

${\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .}$

The 巴恩斯ζ函数是赫尔维茨ζ函数的推广。

The 勒奇超越函数也是赫尔维茨ζ函数的推广:

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

即：

${\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,}$

赫尔维茨ζ函数与超几何函数的关系：

${\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}$其中 ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

Meijer G函数

${\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}$