辛普森積分法

辛普森法則（英語：Simpson's rule）是一種數值積分方法，是牛顿-柯特斯公式的特殊形式，以五次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。最基本的近似，稱為辛普森1/3法，其近似公式如下：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}$

辛普森3/8法在積分範圍內多一個要求值的點，誤差範圍比較小，而且不會增加誤差的階數。

該方法由英國數學家托馬斯·辛普森（英语：Thomas Simpson）所創立。

簡化公式

${\displaystyle V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}}$

• h是立体（常指擬柱體）的高度
• a是下底面积
• b是中间截面面积（在一半高度上的截面面积）
• c是上底面积

棱柱和圆柱（${\displaystyle a=b=c}$）

${\displaystyle V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h\cdot 6a}{6}}=ha}$(棱柱和圆柱的体积=底面积*高)

棱锥和圆锥（a=4b,c=0）

${\displaystyle V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h(a+{\frac {4a}{4}}+0)}{6}}={\frac {ah}{3}}}$

(棱锥和圆锥的面积=等底、等高的圆柱、棱柱体积的1/3)

圆台

${\displaystyle V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {\pi h(R^{2}+Rr+r^{2})}{3}}}$

球体

${\displaystyle V={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {2R(0+4\pi R^{2}+0)}{6}}={\frac {4\pi R^{3}}{3}}}$

公式还可以用于计算平面形面积例如：平行四边形、梯形、三角形……

平行四边形（正方形、矩形等）

${\displaystyle S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}=ah}$

(平行四边形的面积等于底乘高)

梯形

${\displaystyle S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {h(a+c)}{2}}}$

三角形

${\displaystyle S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}={\frac {ah}{2}}}$

辛普森3/8法

辛普森3/8法是辛普森提出的另一個數值積分方法，是以三次內插為基礎，公式如下： $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {3}{8}}h\left[f(a)+3f\left(a+h\right)+3f\left(a+2h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}}$$ 其中${\displaystyle h=(b-a)/3}$是間隔長度。

此方法的誤差為 $${\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),}$$ 其中${\displaystyle \xi }$是${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$之間的某數值。因此，辛普森3/8法的準確度約是辛普森1/3法的二倍，但是也多計算一次^[1]

参见

• 梯形公式
• 牛顿-寇次公式
• 数值积分