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在数学中,迭代函数[1]是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数,这个过程叫做迭代。
在集合 上的迭代函数的形式定义为:
设 是集合和 是函数。定义 的 次迭代 为 而 ,这里的 是在 上的恒等函数。
在上述中, 指示函数复合;就是说 。
換句話說,迭代函数也可以表示為以下的形式:
定義為。
定義為的反函數。(如果的反函數不存在,則也不存在)
因此,就是,是,是恆等函數,是的反函數(如果存在的話),而就是能夠使得合成函數正好是的函數。
注意,一般情況下,並不等於或,而例如是的反函數,亦即,而不是。
一些特殊函數的冪次為(其中、、可為任意複數,亦即):
,(在是負實數或虛數的時候並沒有定義,就好比在是負實數或虛數的時候也沒有定義)
,
,
,(注意迭代冪次要由右往左算)
,()
,()
(注意任何非零複數的任何複數次方都有定義:,當為負實數或虛數時,,其中為複數的絕對值,為複數的主幅角,為複數的實部,為複數的虛部)
注意函數的合成是不可交換的(並不一定等於)但因為可結合(一定等於),所以會符合冪結合性,因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。
這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數,以及階乘運算跟排列組合運算、拓展到非整數和負數時(使用伽瑪函數)一樣,二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數,只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已,包括矩陣的次方以及微分次(為負整數時等同於積分次),也都可以用這種方式,把拓展到任意複數,或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式,也都可以用這種方式,拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況(包括一般的與中,為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候,跟也能拓展到任意複數,就跟積分式一樣),至於超運算能不能拓展到分數、無理數或複數,則是數學中未解決的問題之一。
函数 的序列叫做 Picard 序列,得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定 , 的值的序列叫做 的轨道。
如果对于某个整数 有 ,则轨道叫做周期轨道。对于给定 最小的这种 值叫做轨道的周期。点 自身叫周期点。
如果m=1,就是说如果对于某个X中的x有f(x) = x,则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix(f)。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性,包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。
有很多技术通过不动点迭代产生了序列收敛加速。例如,应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法,生成二次收敛。 不动点理论同样也适用于经济学领域。
通过迭代,可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下,会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说,迭代也可以表现得从一个单一点发散;这种情况叫不稳定不动点。
当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候,轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。
吸引和排斥的想法类似推广;依据在迭代下小邻域行为,可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。
其他极限行为也有可能;比如,游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。
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