道格拉斯-普克算法

拉默-道格拉斯-普克演算法（英語：Ramer–Douglas–Peucker algorithm），又称道格拉斯-普克演算法（英語：Douglas–Peucker algorithm）和迭代端点拟合算法（英語：iterative end-point fit algorithm），是一种将线段组成的曲线降采样为点数较少的类似曲线的算法。它是最早成功地用于制图综合（英语：cartographic generalization）的算法之一。

思路

该算法的目的是，给定一条由线段构成的曲线（在某些情况下也称为折线），找到一条点数较少的相似曲线。该算法根据原曲线与简化曲线之间的最大距离（即曲线之间的豪斯多夫距离）来定义 "不相似"。简化曲线由定义原始曲线的点的子集组成。

算法

用道格拉斯-普克算法简化一条分段线性曲线。

起始曲线是一组有序的点或线，距离维度 ε > 0。

该算法递归划分线。最初，它被赋予了第一点和最后一点之间的所有点。它自动标记要保留的第一点和最后一点。然后它找到离以第一点和最后一点为终点的线段最远的点；这个点显然是曲线上离终点之间的近似线段最远的点。如果这个点离线段的距离比 ε 更近，那么在简化曲线不比 ε 差的情况下，可以舍弃任何当前没有标记保留的点。

如果离线段最远的点大于近似值 ε，那么该点必须保留。该算法以第一点和最远点递归调用自身，然后以最远点和最后一点调用自身，其中包括最远点被标记为保留。

当递归完成后，可以生成一条新的输出曲线，该曲线由所有且仅由那些被标记为保留的点组成。

在RDP的参数化实现中，改变 ε 的影响。

非参数化的拉默-道格拉斯-普克演算法

ε 的选择通常由用户定义。像大多数线拟合/多边形逼近/主点检测方法一样，它可以通过使用数字化/量化引起的误差边界作为终止条件来实现非参数化。^[1]

伪代码

（假设输入是一个索引从1开始的数组）

function DouglasPeucker(PointList[], epsilon)
    // Find the point with the maximum distance
    dmax = 0
    index = 0
    end = length(PointList)
    for i = 2 to (end - 1) {
        d = perpendicularDistance(PointList[i], Line(PointList[1], PointList[end]))
        if (d > dmax) {
            index = i
            dmax = d
        }
    }
    
    ResultList[] = empty;
    
    // If max distance is greater than epsilon, recursively simplify
    if (dmax > epsilon) {
        // Recursive call
        recResults1[] = DouglasPeucker(PointList[1...index], epsilon)
        recResults2[] = DouglasPeucker(PointList[index...end], epsilon)

        // Build the result list
        ResultList[] = {recResults1[1...length(recResults1) - 1], recResults2[1...length(recResults2)]}
    } else {
        ResultList[] = {PointList[1], PointList[end]}
    }
    // Return the result
    return ResultList[]
end

链接：https://karthaus.nl/rdp/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）

应用

该算法用于处理矢量图形和制图综合（英语：cartographic generalization）。它并不总是保留曲线的非自交属性，这导致了变体算法的发展。^[2]

该算法广泛应用于机器人技术^[3]中，对旋转式测距扫描仪获取的测距数据进行简化和去噪处理；在这个领域，它被称为分割合并算法，归功于Duda和Hart。^[4]

复杂度

该算法在由 ${\displaystyle n-1}$ 段和 ${\displaystyle n}$ 个顶点组成的折线上运行时的时间由递归 ${\displaystyle T(n)=T(i+1)+T(n-i)+O(n)}$ 给出，其中 ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-2\}}$ 是伪代码中的索引值。在最坏的情况下，每次递归调用时，${\displaystyle i=1}$ 或 ${\displaystyle i=n-2}$，该算法的运行时间为 ${\displaystyle \Theta (n^{2})}$。在最好的情况下，在每次递归调用时，${\displaystyle i=\lfloor n/2\rfloor }$ 或 ${\displaystyle i=\lceil n/2\rceil }$，在这种情况下，运行时间具有 ${\displaystyle O(n\log n)}$ 的众所周知的解（通过分治法的主定理）。

使用（全或半）动态凸包（英语：Dynamic convex hull）数据结构，算法所进行的简化可以在 ${\displaystyle O(n\log n)}$ 时间内完成。^[5]

类似算法

线简化的替代算法包括：

• Visvalingam–Whyatt
• Reumann–Witkam
• Opheim simplification
• Lang simplification
• Zhao-Saalfeld

参见

• 曲線擬合

延伸阅读

• Urs Ramer, "An iterative procedure for the polygonal approximation of plane curves", Computer Graphics and Image Processing, 1(3), 244–256 (1972) doi:10.1016/S0146-664X(72)80017-0
• David Douglas & Thomas Peucker, "Algorithms for the reduction of the number of points required to represent a digitized line or its caricature", The Canadian Cartographer 10(2), 112–122 (1973) doi:10.3138/FM57-6770-U75U-7727
• John Hershberger & Jack Snoeyink, "Speeding Up the Douglas–Peucker Line-Simplification Algorithm", Proc 5th Symp on Data Handling, 134–143 (1992). UBC Tech Report TR-92-07 available at http://www.cs.ubc.ca/cgi-bin/tr/1992/TR-92-07 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• R.O. Duda and P.E. Hart, "Pattern classification and scene analysis", (1973), Wiley, New York (https://web.archive.org/web/20110715184521/http://rii.ricoh.com/~stork/DHS.html)
• Visvalingam, M; Whyatt, JD. Line Generalisation by Repeated Elimination of the Smallest Area (技术报告). Discussion Paper. Cartographic Information Systems Research Group (CISRG), The University of Hull. 1992 [2020-12-18]. 10. （原始内容存档于2021-01-30）.