采样定理

采样定理是数字信号处理领域的重要定理。定理內容是连续信号（通常称作“模拟信号”）与离散信号（通常称作“数字信号”）之间的一个基本桥梁。它确定了信号带宽的上限，或能捕获连续信号的所有信息的离散采样信号所允许的采样频率的下限。

图1：带宽限制的函数的傅里叶变换的模

严格地说，定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零（参照图1）。离散时间傅里叶变换（泊松求和公式的一种形式）提供了实际信号的解析延拓，但只能近似该条件。直观上我们希望，当把连续函数化为采样值（叫做“样本”）的离散序列并插值到连续函数中，结果的保真度取决于原始采样的密度（或采样率）。采样定理介绍了对带宽限制的函数类型来说保真度足够完整的采样率的概念；在采样过程中"信息"实际没有损失。定理用函数的带宽来表示采样率。定理也导出了一个数学上理想的原连续信号的重构公式。

该定理没有排除一些并不满足采样率准则的特殊情况下完整重构的可能性。（参见下文非基带信号采样，以及壓縮感知。）

奈奎斯特–香农采样定理的名字是为了紀念哈里·奈奎斯特和克劳德·香农。该定理及其在插值理论中的原型曾被奥古斯丁-路易·柯西、埃米尔·博雷尔、雅克·阿达马、夏尔-让·德拉瓦莱·普桑、埃德蒙·泰勒·惠特克、弗拉基米尔·亚历山德罗维奇·科捷利尼科夫等人发现或研究^[1]:1-4。所以它还叫做奈奎斯特–香农–科捷利尼科夫定理、惠特克–香农–科捷利尼科夫定理、惠特克–奈奎斯特–科捷利尼科夫–香农定理及插值基本定理。

简介

采样是将一个信号（例如时间或空间上连续的函数）转换为数字序列（时间或空间上离散的函数）的过程。这个定理的香农版本陈述为：^[2]

如果週期函數 x(t) 不包含高于 B cps（次/秒）的频率，那麼，x(t)可以由一系列间隔小於 1/(2B) 秒的x(t)函數值完全确定。

因此 2B 样本/秒或更高的采样频率將能使函數不受干擾。相對的，对于一个给定的采样频率 f_s，完全重构的频带限制为 B ＜ f_s/2。

在频带限制过高（或根本沒有频带限制）的情形下，重构表现出的缺陷称为混疊。現在對於此定義的陳述有時會很小心的指出x(t)必須不包括頻率恰好為B的正弦曲線，或是B必須小於½的取樣頻率。這二個門檻，2B及f_s/2會稱為奈奎斯特速率及奈奎斯特频率。這些是x(t)及取樣設備的屬性。上述的不等式會稱為奈奎斯特準則，有時會稱為拉贝準則（Raabe condition）。此定理也可以用在其他定義域（例如離散系統）的函數下，唯一的不同是量測t, f_s和B的單位。

正規化的Sinc函数：sin(πx) / (πx) ...其中央峰值在x= 0，其他整數值的x時為零交越點

符號 T = 1/f_s 常用來表示二次取樣之間的時間間隔，稱為取樣周期或是取樣區間。函數x(t)的取樣常用x[n] = x(nT)表示（較早期的文獻會用x_n），其中n為正整數。在數學上理想的取樣還原（插值）和Sinc函数有關，每次的取樣都用中心點在取樣時間nT，振幅是取樣值x[n]的Sinc函数代替。最後將Sinc函数加總，得到連續的函數。數學上等效的方式是將Sinc函数和一連串的狄拉克δ函数卷積，再依取樣到的值來加權。不過這些方式在數學上都是不實際的。不過有些有限長度的函數可以近似Sinc函数，這種因為近似的不完美造成的誤差稱為插值誤差（interpolation error）。

實際的數位類比轉換器既不會產生加權而有延遲的Sinc函数，也不會產生理想的狄拉克δ函数，若是其類比重建是用零階保持，其輸出的是由不同振幅及有延遲的矩形函数組成的阶跃函数，一般後面會有抗鏡像濾波器（anti-imaging filter）來清除假的高頻成份。

混疊

主条目：混疊

二個正弦波的頻率不同，但其取樣值相關，其中至少有一個的頻率超過取樣頻率的一半

如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。

若x(t)為一函數，其傅里叶变换X(f)為:

${\displaystyle X(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ {\rm {d}}t,}$

泊松求和公式指出x(t)的取樣x(nT)足以產生X(f)的週期和（英语：periodic summation），結果為：

${\displaystyle X_{s}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-kf_{s}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf},}$

Eq.1

圖4：X(f)（上圖藍色部份）及X_A(f)（下圖藍色部份）是二個不同函數x(t)及x_A(t)（原函數省略不列出）的連續傅里叶变换。當二個函數以f_s的速率取樣時，且確認訊號的離散傅里叶变换（DTFT）時，其鏡相（image，綠色部份）會和轉換後訊號（藍色部份）疊加。在這個假設的例子中，二函數的離散傅里叶变换相同，表示取樣到的訊號也相同，可是在取樣前的原函數是不同的。若這是聲音訊號，x(t)和x_A(t)聽起來是不一樣的，可是其以f_s速率的取樣是一樣的，因此最後重制的聲音是相同的，x_A(t)是x(t)在此取樣頻率下的混疊（alias）

是一個週期函數，等效為傅里叶级数，係數為T•x(nT)。此函數也稱為數列T•x(nT)的离散时间傅里叶变换 (DTFT)，n為整數。

如图4所示，X(f) 的拷贝被平移了 f_s 的倍数，并相加合并。对于一个带限函数（对所有 |f| ≥ B，X(f) = 0），在 f_s 足够大的时候，这些拷贝之间仍然分得清楚。但如果奈奎斯特准则并不满足，相邻部分就会重叠，一般就不能明确辨别出 X(f)。任何超过 f_s/2 的频率分量都会与较低的频率分量难以区分，称作与其中一个拷贝发生“混叠”。在这种情况下，通常的插值法就会产生混叠，而不是原始的分量了。

以下两种措施可避免混叠的发生：

1. 提高采样频率，使之达到最高信号频率的两倍以上；
2. 引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数；该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器

当采样率预先由其他因素（如行业标准）确定的时候，x(t) 通常要先滤波以将高频分量减少到可以接受的水平，再进行采样。所需的滤波器的种类为低通滤波器，而在这种应用中叫做抗混叠滤波器。抗混叠滤波器可限制信号的带宽，使之满足采样定理的条件。这在理论上是可行的，但是在实际情况中不可能做到。因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号，所以，采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小，以至可忽略不计。

圖5：X_s(f)是由適當頻寬濾波器濾波後的訊號，其頻譜（藍色）和其相鄰的DTFT鏡像（綠色）不會重疊。brick-wall低通濾波器H(f)可以移除鏡像，留下原始的頻譜X(f)，由取樣後的訊號還原為（濾波後）的原始信號

由泊松求和的特例來推導

從圖5中可以看到，若X(f)的複本（也稱為鏡像）之間沒有和k = 0的項重疊，可以由X_s(f)用以下的乘積來還原：

${\displaystyle X(f)=H(f)\cdot X_{s}(f),\,}$      where:

${\displaystyle H(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{cases}1&|f|<B\\0&|f|>f_{s}-B.\end{cases}}}$

此時證明了采样定理，因此X(f)可以確定x(t)，而且只有唯一解。

剩下的就只有推導重構的公式。H(f)不需在[B, f_s − B]的區域有準確的定義，因為X_s(f)在此區域為零。不過最壞的情形是B = f_s/2，奈奎斯特频率。一個在此情形及其他較輕微的條件下都適用的函數為：

${\displaystyle H(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)={\begin{cases}1&|f|<{\frac {f_{s}}{2}}\\0&|f|>{\frac {f_{s}}{2}},\end{cases}}}$

其中rect(•)為矩形函数，因此：

${\displaystyle X(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\cdot X_{s}(f)\ }$

${\displaystyle =\mathrm {rect} (Tf)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf}}$      （根據上面的 Eq.1）

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\right\}}.}$     ^[3]

等式二側反轉換，可以得到惠特克-香農插值公式（英语：Whittaker–Shannon interpolation formula）

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right),}$

上式就是用取樣值x(nT)來重構x(t)的方式。

• 若f_s大於所需值，也就是T較小，稱為過取樣（oversampling），由圖5可以看出過取樣對重構訊號沒有任何效果，但可以提供一塊「轉態區」，此區域內的H(f)可以是一些非零的值。相反的，欠取樣（英语：Undersampling）會造成混疊，一般而言無法重構原始信號。
• 理論上，插值公式可以用低通滤波器來實現，其脈衝響應為sinc(t/T)，輸入為${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT),}$，即為一個被取樣信號調變過的脈波序列（英语：Dirac comb）函數。實際的數位類比轉換器（DAC）會用零階保持器來近似，此時過取樣可以減少近似的誤差。

香农的原始证明

泊松证明了Eq.1中的傅里叶级数会产生 X(f) 的周期求和，不管 f_s 和 B 是什么值。然而香农只推导了 f_s = 2B 情形下级数的系数。 几乎引用了香农原始的论文：

令 ${\displaystyle \scriptstyle X(\omega )}$ 為 ${\displaystyle \scriptstyle x(t)}$ 的频谱。则

${\displaystyle x(t)\,}$	${\displaystyle ={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega \ }$
	${\displaystyle ={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega \ }$

因为假设在频带 ${\displaystyle \scriptstyle |{\frac {\omega }{2\pi }}|<B}$ 以外 ${\displaystyle \scriptstyle X(\omega )}$ 为零。若我们令

${\displaystyle t={n \over {2B}}\,}$

其中 n 为任意正整数或负整数，我们得到

${\displaystyle x\left({\tfrac {n}{2B}}\right)={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega {n \over {2B}}}\;{\rm {d}}\omega .}$

在等式左邊的是${\displaystyle \scriptstyle x(t)}$在取樣點的數值，右邊的積分在本質上可以視為是${\displaystyle \scriptstyle X(\omega )}$的n次係數，以–B至B為其基礎週期^{[note 1]}。這表示${\displaystyle \scriptstyle x(n/2B)}$的取樣值也決定了${\displaystyle \scriptstyle X(\omega )}$傅立葉展開的第n次係數。對於比B低的頻率，若其傅立葉係數確定了，${\displaystyle \scriptstyle X(\omega )}$也就確定了，而在高於B的頻率，其數值為零，因此整個${\displaystyle \scriptstyle X(\omega )}$都可以確定。因為一函數的頻譜若確定了，其函數也就確定了，因此${\displaystyle \scriptstyle X(\omega )}$可以完全的決定原始函數，也就表示原始的取樣可以完整的決定函數${\displaystyle \scriptstyle x(t)}$。

香农對於此定理的證明已經完成了，不過香农進一步探討用Sinc函数重構原函數，也就是今日的惠特克–夏農內插公式（英语：Whittaker–Shannon interpolation formula），他沒有推導或是證明sinc函數的性質，但這些對於當時閱讀其作品的工程師不會覺得陌生，因為當時已經知道矩形函数和Sinc函数的傅立葉對關係。

令${\displaystyle \scriptstyle x_{n}}$為第n個取樣點，則函數${\displaystyle \scriptstyle x(t)}$可以表示為：

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}{\sin \pi (2Bt-n) \over \pi (2Bt-n)}.\,}$

和其他證明類似，此處假設原函數的傅立葉變換存在，因此證明中沒有說明採樣定理是否可以延伸到有限頻寬的固定隨機過程。