链 (代数拓扑)

在代数拓扑学中，一个q维链（q-chain)是一个复形K全体定向q单纯形所生成的自由阿貝爾群C_q(K)中的元素。^[1]

定义

对于一个单纯形K，K的q维链群C_q(K)是由一个复形K的全体定向q单纯形所生成的自由阿貝爾群，即${\displaystyle C_{q}(K)=\{\sum _{i=1}^{s}\lambda _{i}\sigma _{i}:\lambda _{i}\in \mathbb {Z} \}}$，其中${\displaystyle \sigma _{i}}$是K的定向q单纯形，其中，若${\displaystyle \sigma }$和${\displaystyle \tau }$是两个同样的单形，但如果定向相反，那么${\displaystyle \sigma +\tau =0}$. 一个复形K上的q维链是${\displaystyle C_{q}(K)}$中的元素。习惯上，常把链看作定向单形的线性组合，即${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{\alpha _{q}}\lambda _{i}\sigma _{i}}$，并称${\displaystyle \lambda _{i}}$为c的系数。^[2]

链上的积分

在链上定义的积分是对链上的单纯形取积分的线性组合（带有整数系数）。包含所有k链的集合构成一个群，这些群的序列称为链复形。