阿廷模

阿廷模是抽象代數中一類滿足降鏈條件的模。

定義

以下固定一個環 ${\displaystyle A}$。設 ${\displaystyle M}$ 為左 ${\displaystyle A}$-模，當 ${\displaystyle M}$ 滿足下列，則稱 ${\displaystyle M}$ 為阿廷模：

對所有由 ${\displaystyle M}$ 的子模構成的降鏈 ${\displaystyle M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots }$，存在 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ 使得 ${\displaystyle i\geq \mathbb {N} \Rightarrow M_{i}=M_{i+1}}$；換言之，此降鏈將會固定。

若將上述定義中的左模換成右模，可得到右阿廷模的定義。

性質

• 若 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle k}$-代數，任何在 ${\displaystyle k}$ 上有限維的 ${\displaystyle A}$-模都是阿廷模。
• 若 ${\displaystyle N\subset M}$，且 ${\displaystyle N}$ 與 ${\displaystyle M/N}$ 皆為阿廷模，則 ${\displaystyle M}$ 為阿廷模。
• 阿廷模的子模與商模皆為阿廷模。
• 阿廷模與環的性質差異之一，在於有非諾特模的阿廷模，以下將給出一個例子：

令 ${\displaystyle M:=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$，視之為 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模。升鏈

${\displaystyle \langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \cdots }$

不會固定，因此 ${\displaystyle M}$ 並非諾特模。然而我們知道 ${\displaystyle M}$ 的任何子模皆形如 ${\displaystyle \langle 1/n\rangle }$，由此可知任何降鏈皆可寫成

${\displaystyle \langle 1/n_{1}\rangle \supset \langle 1/n_{2}\rangle \supset \langle 1/n_{3}\rangle \cdots }$

其中 ${\displaystyle n_{i+1}|n_{i}}$，故將固定，於是 ${\displaystyle M}$ 是阿廷模。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X