陳-高斯-博內定理

在數學中，陳定理（或陳–高斯–博內定理，英語：Chern–Gauss–Bonnet theorem）以数学家陈省身、卡尔·弗里德里克·高斯、皮埃尔·奥西恩·博内（英语：Pierre Ossian Bonnet）的名字命名。此定理断言：2n維黎曼流形的歐拉示性數可以從曲率計算出來。陳定理也是高斯–博內定理（n=1）在高维的推廣，其在數學和理論物理學中亦有许多應用。此定理由陈省身於1945年證出。陳定理將全局拓扑學與局部微分几何联系起來。^[1]

定理

若M是2n维的黎曼流形，陈定理为：^[2][3]

${\displaystyle \chi (M)=\int _{M}e(\Omega )}$

${\displaystyle \chi (M)}$是M的欧拉示性数, ${\displaystyle \Omega }$是M的曲率形式, 欧拉类${\displaystyle e(\Omega )}$则定义为

${\displaystyle e(\Omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\operatorname {Pf} (\Omega ).}$

${\displaystyle \operatorname {Pf} (\Omega )}$是普法夫值。^[4]

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