双重梅森数

双重梅森数（英語：double Mersenne number）是指可以用以下形式表示的梅森數：

${\displaystyle M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}$

其中n為正整數。

双重梅森数的數列如下

${\displaystyle M_{M_{1}}=M_{1}=1}$

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{4}}=M_{15}=32767}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$ （OEIS數列A077585）

双重梅森数的2倍加3是費馬數。

雙重梅森質數

若雙重梅森數本身也是質數，則稱為雙重梅森質數。由於梅森數M_p為質數的必要條件是p為質數，因此雙重梅森數${\displaystyle M_{M_{p}}}$為質數的必要條件是${\displaystyle M_{p}}$為梅森質數。

頭幾個雙重梅森質數如下^[1]：

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$

${\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$ （OEIS數列A077586）.

頭幾個使M_p為質數的p值為p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127（OEIS數列A000043）。在p為2, 3, 5, 7時，${\displaystyle M_{M_{p}}}$為質數，但在p = 13, 17, 19及31時，${\displaystyle M_{M_{p}}}$不是質數，下一個雙重梅森數${\displaystyle M_{M_{61}}}$還不確定是否是質數，其數值為2^{2305843009213693951} − 1，大約是1.695×10^{694127911065419641}，目前已知的素性测试無法處理這麼大的數字，已知在小於4×10³³的整數中，沒有${\displaystyle M_{M_{61}}}$的質因數。^[2]可能除了上述的四個雙重梅森質數外，不存在其他的雙重梅森質數。^[1][3]。

和大眾娛樂的關係

在乃出個未來電影版《The Beast with a Billion Backs》中，雙重梅森數${\displaystyle M_{M_{7}}}$出現在「哥德巴赫猜想的大略證明」中，其中該數字被稱為「火星素數」（martian prime）。

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