预序关系

预序关系（简称预序，又称先序，preorder）、在数学中，是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

定义

考虑集合 ${\displaystyle P}$ 及其上的二元关系 ${\displaystyle \lesssim }$。若 ${\displaystyle \lesssim }$ 具有自反性和传递性，则称 ${\displaystyle \lesssim }$ 为预序。具体来说，对任意 ${\displaystyle P}$ 的元素 ${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$ 和 ${\displaystyle c}$，下列性质成立：

${\displaystyle a\lesssim a}$（自反性）

若 ${\displaystyle a\lesssim b}$ 且 ${\displaystyle b\lesssim c}$ ，则 ${\displaystyle a\lesssim c}$ （传递性）

带预序的集合称为预序集合。同时满足反对称性（若 ${\displaystyle a\lesssim b}$ 且 ${\displaystyle b\lesssim a}$，则 ${\displaystyle a=b}$）的预序为偏序。

说明

作为特例，空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。

导出偏序

将预序集的等价元素等同起来，可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下：定义预序集 ${\displaystyle X}$ 上的等价关系 ${\displaystyle \sim \,}$，使得 ${\displaystyle a\sim b}$ 当且仅当 ${\displaystyle a\lesssim b}$ 且 ${\displaystyle b\lesssim a}$ 。定义所得商集 ${\displaystyle X/\mathrm {\sim } }$（所有 ${\displaystyle \sim \,}$ 的等价类构成的集合）上的序关系 ${\displaystyle \leq }$ ，使得${\displaystyle [x]\leq [y]}$ 当且仅当 ${\displaystyle x\lesssim y}$。由 ${\displaystyle \sim \,}$ 的构造可知，${\displaystyle \leq }$ 的定义与所选等价类的代表元素无关，故上述定义明确。易证该关系为一偏序。

举例

• 拓撲學中，網收敛的定义使用预序比使用偏序可避免重要特征的丢失。
• 可數全序的嵌入關係。
• 图论中的图子式关系（羅伯遜-西摩定理（英语：Robertson–Seymour theorem））
• 多種經濟學模型的偏好。

参见

• 二元关系
• 偏序关系
• 全序关系
• 等价关系
• 有向集合
• 预序范畴
• 良擬序——一種預序，其中無窮序列必有先後兩項遞增

參考文獻

• Schröder, Bernd S. W., Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4128-9