馮紐曼熵

量子統計力學中，馮紐曼熵（英語：von Neumann entropy）是經典體系吉布士熵概念的拓展延伸。體系的馮紐曼熵为

${\displaystyle S{\dot {=}}-\mathrm {Tr} (\rho \ln \rho ),}$

其中Tr表示求跡（中文：跡），${\displaystyle \rho }$是體系的密度矩陣（中文：密度矩陣）。

運用密度矩陣的本徵態向量分解表示

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$

可以得到：

${\displaystyle S=-\sum _{i}w_{i}\ln w_{i}.}$

性質

馮紐曼熵有下列性質：

• ${\displaystyle S=0\iff \rho }$代表純態；
• ${\displaystyle S=S_{\max }=\ln N\iff \rho }$代表最大混合態，就是所有的${\displaystyle w_{i}}$都等於${\displaystyle N^{-1}}$，其中${\displaystyle N}$是希爾伯特空間的維數；
• 對密度矩陣作酉變換，${\displaystyle S}$不變。
• 馮紐曼熵是密度矩陣的上凸函數：

${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,\rho _{i}{\bigg )}\,\geq \,\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,S(\rho _{i}),\qquad \forall \lambda _{i}\geq 0,\sum _{i}\lambda _{i}=1;}$

• 馮紐曼熵對獨立體系有加和性，就是：如果${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$是兩個獨立的體系，这样

${\displaystyle S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).}$