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高斯圓問題
問以原點為圓心,r為半徑的圓內,整點數為何 来自维基百科,自由的百科全书
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數學中,高斯圓問題(英語:Gauss circle problem)問以原點為中心,為半徑的圓內,有多少個整數點。答案與圓的面積相近,因此,真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾·弗里德里希·高斯。
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問題
考慮中以原點為中心和以為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點使和都是整数。由於在笛卡爾坐標系中,這個圓的方程式是,問題等價於詢問有多少對整數和使得
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解決方案和猜想的上下界
大概是 ,半徑範圍內的區域 。這是因為平均而言,每個單位正方形包含一個格子點。因此,圓中格子點的實際數量大約等於其面積, 。因此,應該預期
對於某些錯誤項具有相對較小的絕對值。找到正確的上限因此是問題採取的形式。注意不必是整數。後一個有在這些地方之後它減少(以 ),直到下一次增加為止。
高斯設法證明[1]
谢尔品斯基将指數改进至,以大O符号表示,即證明,约翰内斯·范德科皮特引进了他关于外尔和的估计,从而证明了指數為的結果(此數略小於)。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指數為與的上界。[2]
設總成立,則關於的最小可能值,目前所知的結果是
其中下界是1915年Hardy和Landau所證,上界於2000年由馬丁·赫克斯利证明。[5]
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確切形式
的值可以由幾個形式給出,例如以下取整函數表示成以下和式: [6]
這是雅可比二平方和定理的結果,該定理來自雅可比三重積。[7]
如果將平方和函數定義為將自然數寫為兩個整數平方之和的方法數,則是一个积性函数[8],且可寫出較簡單的和式:[1]
Hardy首次發現了以下的最新成果: [9]
其中表示第一種階數為1的貝塞爾函數。
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概論
儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數,但沒有理由不考慮其他形狀,例如圓錐形。的確,狄利克雷(Dirichlet)的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣,可以將問題從二維擴展到更高的維度,並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一,則可能會增加問題中出現的指數,從平方到立方,甚至更高次方。
此問題稱為原始圓問題,因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量然後的值為了取小整數值是
- 0,4,8,16,32,48,72,88,120,152,192 (OEIS中的數列A175341)
使用與普通的高斯圓問題相同的方法,以及兩個整數互質的機率為,容易證明
與普通的圓問題一樣,原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確,目前最著名的指數是。在不假設黎曼猜想正確的情況下,最著名的上限是
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參考文獻
外部鏈接
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