高斯求积

高斯求積，又稱高斯數值積分，（英語：Gaussian quadrature），是以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯所命名的一种数值积分中的求积规则。

提示：此条目的主题不是高斯積分。

当我们要求解某个函数的积分${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)dx}$ ，其数值解可以由${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})}$近似，其中${\displaystyle w_{i},i=1...n}$为权重。高斯求积仅当函数${\displaystyle f(x)}$可以由在区间${\displaystyle [-1,1]}$上的多项式近似时才能获得准确的近似解，且这种方法并不适用于函数具有奇异点的情况。于是乎，我们可以把函数${\displaystyle f(x)}$写作${\displaystyle f(x)=W(x)g(x)}$，其中${\displaystyle g(x)}$是近似多项式，${\displaystyle W(x)}$是已知的权重函数，这样我们就有

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)dx=\int _{-1}^{1}W(x)g(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g(x_{i})}$。

常用的权重函数有

${\displaystyle W(x)=(1-x^{2})^{-1/2}}$（高斯切比雪夫）

以及

${\displaystyle W(x)=e^{-x^{2}}}$（高斯埃米特）。

高斯勒让得求积

对于上述的最简单的积分形式，即权重函数${\displaystyle W(x)=1}$时，关联多项式为勒让得多项式${\displaystyle P_{n}(x)}$，这种方法通常称为高斯勒让德求积，此时权重函数为下式，

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})[P_{n}'(x_{i})^{2}]}}}$

${\displaystyle x_{i}}$為${\displaystyle P_{n}(x)}$的第${\displaystyle i}$個根。

${\displaystyle P_{n}(x)=\prod _{1\leq i\leq n}(x-x_{i})}$

对于求解低阶积分，选择的点的数目、位置和权重如下表所示。

点的数目, n	点的位置, xi	权重, wi
1	0	2
2	${\displaystyle \pm 1/{\sqrt {3}}}$	1
3	0	8⁄9
	${\displaystyle \pm {\sqrt {3/5}}}$	5⁄9
4	${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {525-70{\sqrt {30}}}}{35}}}$	${\displaystyle {\tfrac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}$
	${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {525+70{\sqrt {30}}}}{35}}}$	${\displaystyle {\tfrac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}$
5	0	128⁄225
	${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {245-14{\sqrt {70}}}}{21}}}$	${\displaystyle {\tfrac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}$
	${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {245+14{\sqrt {70}}}}{21}}}$	${\displaystyle {\tfrac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}$

变区间法则

在使用高斯求积的时候必须要将积分区间${\displaystyle [a,b]}$变换到${\displaystyle [-1,1]}$，可利用變數變換得：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}x+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dx}$

對應的高斯求積近似式为

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}x_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right)}$

其他形式

对于如下的通用积分式来说，

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)f(x)dx}$

当${\displaystyle a=-1}$，${\displaystyle b=1}$，${\displaystyle w(x)=1}$时，即为上述内容。我们还可以用别的积分规则，如下表所示。

区间	ω(x)	正交多项式
[−1, 1]	${\displaystyle 1\,}$	勒让德多项式
(−1, 1)	${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1\,}$	雅可比多项式
(−1, 1)	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	切比雪夫多项式 (第一类)
[−1, 1]	${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$	切比雪夫多项式 (第二类)
[0, ∞)	${\displaystyle e^{-x}\,}$	拉盖尔多项式
(−∞, ∞)	${\displaystyle e^{-x^{2}}}$	埃尔米特多项式