黎瑟尔数

黎瑟尔数（英語：Riesel number）是奇正整數k使得所有形式如k × 2ⁿ - 1的數均為合數。

1956年，Hans Riesel證明有無限多個合符這種條件的整數。他找到509203有這樣的性質。現時找到小於10⁶的Riesel數有：

• 509203×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241}
• 762701×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241}
• 777149×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• 790841×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• 992077×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241}

冒號後的質數集表示每個形式如k × 2ⁿ - 1的數都會被該集其中一個數整除。若能找出這樣的集，便能證明一個數是Riesel數。

和黎瑟尔数類似的概念是謝爾賓斯基數，是奇正整數k使得所有形式如k × 2ⁿ + 1的數均為合數。

黎瑟尔問題

Hans Riesel（英语：Hans Riesel）在1956年證明有无限多個整數k使得針對任意整數n，${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$都不是质数。他證明509203有此性質，而509203加上11184810的整數倍也有此性質^[1]。黎瑟尔問題包括找出最小的黎瑟尔數。因為還沒找到k小於509203的覆蓋集（英语：covering set），因此猜想509203是最小的黎瑟尔数。

為了要確認是否有k < 509203，黎瑟爾篩計劃（英语：Riesel Sieve）（類似針對谢尔宾斯基数的Seventeen or Bust）開始針對101個可能的k開始計算。在2022年12月時，透過黎瑟爾篩、PrimeGrid（英语：PrimeGrid）或其他人研究，已刪除57個整數^[2]。剩下的41個k值，針對所有n值產生的都是合數，這些數字是

23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.

最近消去的數字是在2024年8月發現的，Ryan Propper發現107347 × 2^23427517 − 1是質數，此數字位數有7,052,391位。

2023年1月時，PrimeGrid搜尋了剩下可能的黎瑟尔数，直到n = 14,900,000^[3]。