1 − 2 + 4 − 8 + …

在數學中，1 − 2 + 4 − 8 + …是一個无穷级数，它的每一项都是2的幂而加減號則是交錯地排列。作为几何级数, 它以 1 为首项，-2为公比。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}}$

作为实数级数，它发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。在更广泛的意义下，这一级数有一個廣義的和為⅓。

歷史上的爭論

戈特弗里德·莱布尼茨於1673年已經細想過1 − 2 + 4 − 8 + …這個交替的发散级数。他認為經過從右邊或左邊相減，分別可以得到正無限及負無限，所以兩個答案都是錯的，而整個級數必為有限：

"如果两个结论里没有一个是可被接受的，或者说因为无法判断哪个结论可被接受，自然一般会选择处在两个结论中间的结论，所以这个级数和是一个有限数。"

莱布尼兹并不是非常肯定这个级数有和，但是他根据墨卡托方法推测它和⅓有关系。^[1]在十八世纪，“一个数项级数的和可能等于一个并不是其逐项叠加的结果的有限数”是一个十分普通的观点，尽管现代数学观点同当时的观点并没有任何分别。^[2]

当克里斯提安·沃尔夫在1712年阅读了莱布尼兹对格兰迪级数的解法后，^[3] 他对此解法非常满意，并设法通过这种方法去寻求更多解决发散级数问题的数学方法（如 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − …）。简明地说,如果某人以倒数第二项的函数来表示级数的部分和的话，他得到的结果会是${\displaystyle {\tfrac {4m+1}{3}}}$或者${\displaystyle {\tfrac {-4n+1}{3}}}$ 。 这些值的平均值是${\displaystyle {\tfrac {2m-2n+1}{3}}}$，然后假设m = n ，讨论到无限后就得到了级数和是 ⅓ 。莱布尼兹的直觉在这时让他避免了在沃尔夫的解法上费力气。他给沃尔夫回信，说他的解法有点意思，但是因几个原因而无效。 相邻的两个部分和并不收敛到任何一个特定值上，同时在任何有限条件下都有n = 2m，而不是n = m。总之，可求和级数的项最终都应收敛到零；即使 1 − 1 + 1 − 1 + … 也可以被表示成这种级数的极限。莱布尼兹劝沃尔夫再好好考虑一下，认为他说不定“可以搞出一些于他于科学都有价值的东西。”^[4]

现代方法

等比数列

任何具有规律性、线性和稳定性的求和方法都能对等比数列（几何级数）求和

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a}{1-r}}}$.

在这种情况下 a = 1 且 r = −2，所以级数和是 ⅓。

欧拉求和

在他1755年的《Institutiones》上，莱昂哈德·欧拉采用了现在被称为欧拉变换的方式处理1 − 2 + 4 − 8 + …，得到了收敛级数½ − ¼ + ⅛ − ¹/₁₆ + …。因为後者的和为⅓，欧拉得出结论，认为1 − 2 + 4 − 8 + … = ⅓。^[5]他对於无穷级数的看法不太遵循现代方法。如今，我们称1 − 2 + 4 − 8 + …是欧拉可求和，其欧拉和是⅓。^[6]

《Institutiones》节选

欧拉变换以正项序列开始：

a₀ = 1,

a₁ = 2,

a₂ = 4,

a₃ = 8, ….

而前向差分序列是

Δa₀ = a₁ − a₀ = 2 − 1 = 1,

Δa₁ = a₂ − a₁ = 4 − 2 = 2,

Δa₂ = a₃ − a₂ = 8 − 4 = 4,

Δa₃ = a₄ − a₃ = 16 − 8 = 8, …,

这一序列与上一序列正好相同。因此对於每一n，迭代前向差分序列均以Δⁿa₀ = 1开始。级数的欧拉变换如下：

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}$

上述级数是一收敛等比级数，按常规求和公式得出其和为⅓。

博雷尔和

1 − 2 + 4 − 8 + … 的博雷尔和也是 ⅓；博雷尔于1896年介绍了博雷尔和极限的公式，这是他在关于1 − 1 + 1 − 1 + …^[7]后的首个实例之一。