24点

24点游戏（在香港也稱「合廿四」）J、Q、和K去除，或当成10；还有一个版本是把J表示11，Q表示12，K代表13。

有些组合有多种算法，例如2，4，6，Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24，如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。

较有难度的24点

虽然大多数24点存在很多解法，有相当一部分数字组合只存在單一的解法。这种组合往往较有难度，也较为有趣。这里总结一些常见的组合。

分数或小数运算

虽然给出4个数字都是整数，中间步骤中有时会出现分数或小数。这种4个数字的组合往往较有难度。一个经典的例子是1，5，5，5，其解答为5×(5 − 1 ÷ 5) = 24；另外 一个例子是3，3，8，8，其解答为8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因为后者用到了两次除法，其解法比较难以想到。另外一些类似的组合为：

数字组合	解法	数字组合	解法
2,  4, 10, 10	(2 + 4 ÷ 10)×10	2,  5,  5, 10	(5 − 2 ÷ 10)×5
2,  7,  7, 10	(2 + 10 ÷ 7)×7	3,  3,  7,  7	(3 + 3 ÷ 7)×7
4,  4,  7,  7	(4 − 4 ÷ 7)×7	2,  2, 11, 11	(2 + 2 ÷ 11)×11
2,  2, 13, 13	(2 − 2 ÷ 13)×13	1,  3,  4,  6	6 ÷ (1 − 3 ÷ 4)
2,  3,  5, 12	12 ÷ (3 − 5 ÷ 2)	1,  8, 12, 12	12 ÷ (12 ÷ 8 - 1)

大数／奇数运算

大多数组合中，中间步骤只会涉及到一些较小的数字（≤32）。但是有些组合中会涉及到一些较大数字，这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10×10 − 4) ÷ 4 = 24，5、6、6、9的解法为6×9 − 5×6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度，比如6、9、9、10的解法为9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下：

数字组合	解法	数字组合	解法
1,  3,  9, 10	(1 + 10)×3 − 9	7,  8,  8, 10	10×8 − 7×8
9, 11, 12, 12	11×12 − 9×12	1,  2,  7,  7	(7×7 − 1) ÷ 2
3,  8,  8, 10	(8×10 − 8) ÷ 3	4,  8,  8, 11	(8×11 + 8) ÷ 4
5, 10, 10, 13	(10×13 − 10) ÷ 5	1,  5, 11, 11	(11×11 - 1) ÷ 5
1,  6, 11, 13	(11×13 + 1) ÷ 6	1,  7, 13, 13	(13×13 − 1) ÷ 7

计算复杂性排行

下面 17 组是由计算机根据计算复杂性和结构找到的最难组合，完整的 566 组有解（多组解则取最简单的情况）情况如附录。

数字组合	解法	数字组合	解法	数字组合	解法
1，3，4，6	(6/(1-(3/4)))	1，2，7，7	(((7*7)-1)/2)	3，3，7，7	(((3/7)+3)*7)
1，4，5，6	(4/(1-(5/6)))	3，5，10，10	(3*(10-(10/5)))	2，7，7，10	(((10/7)+2)*7)
3，3，8，8	(8/(3-(8/3)))	3，8，8，10	(((10*8)-8)/3)	2，2，7，10	(((10/2)+7)*2)
1，6，6，8	(6/(1-(6/8)))	4，4，10，10	(((10*10)-4)/4)	3，3，6，6	(3*((6/3)+6))
1，4，5，6	(6/((5/4)-1))	1，5，5，5	((5-(1/5))*5)	2，4，10，10	(10*((4/10)+2))
		2，5，5，10	((5-(2/10))*5)
		4，4，7，7	((4-(4/7))*7)

24点的组合数学

其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间，独立的数字组合数由有重复的组合数给出：

${\displaystyle N={K+3 \choose 4}={\frac {K(K+1)(K+2)(K+3)}{24}}\,\!}$。

譬如，如果最大的牌面数值为10，那么独立的数字组合为715个，远比10000要小；如果最大的牌面数值为13，那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。

可以用枚举证明，如果最大牌面数值为10，在715个组合中，有149个组合是没有解的。此外，如果我们随机地取4个1-10之间的数字，无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13，则会有458个组合无解（总数为1820）。

推广

24点游戏可以被推广到多张牌（n>4）的情形。通常我们假定这n张牌是从一副牌中选出的，也就是说，每个数字至多出现4次。比如在5张牌、最大数值为10的情况下，有1992种不同的组合方式。其中无解的比例大大降低，一共为如下37种。如果最大数值为13，则无解的总数扩大为80。

1 1 1 1 2	1 1 1 1 3	1 1 1 1 4	1 1 1 1 5	1 1 1 2 2	1 1 1 2 3
1 1 1 9 9	1 1 1 9 10	1 1 1 10 10	1 1 2 2 2	1 1 6 7 7	1 1 7 7 7
1 1 9 9 9	1 1 9 9 10	1 1 10 10 10	1 5 9 9 9	1 6 7 7 7	1 7 7 7 7
1 7 9 9 9	1 8 9 9 10	1 8 9 10 10	1 9 9 9 9	1 9 9 9 10	1 9 9 10 10
1 9 10 10 10	1 10 10 10 10	2 9 9 9 9	3 5 5 5 5	4 9 9 9 9	6 7 7 7 7
6 10 10 10 10	8 9 9 9 10	8 9 9 10 10	9 9 9 9 10	9 9 9 10 10	9 9 10 10 10
9 10 10 10 10

注意到，以上罗列的情形中并没有5个相同数字的组合，比如，5个1，这是因为一副牌最多只有4个相同数字的牌。

在6张牌的情况下，4905种不同的组合方式中仅有3种组合是无解的：1 1 1 1 2 2，9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7张牌的情况下，所有组合方式（10890种）都有解。

影响

這游戏在中美两国都十分流行，也是课堂教学的内容之一。^[1]