3的算術平方根

3的算術平方根是一个正的实数，它的平方等于3，记为：

${\displaystyle {\sqrt {3}}}$。

3的主平方根

无理数 ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\delta _{S}}$ - ${\displaystyle \color {blue}e}$ - ${\displaystyle \color {blue}\pi }$ 邊長為2的正三角形高為3的平方根
識別
位數數列編號	A002194
性質
連分數	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}$[註⁠ 1]
以此為根的多項式或函數	${\displaystyle x^{2}-3=0}$
表示方式
值	1.7320508075688772935
二进制	1.101110110110011110101110…
十进制	1.732050807568877293527446…
十六进制	1.BB67AE8584CAA73B25742D70…

其最初60个数字为：

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 5580... （OEIS數列A002194）

它是一个无理数，近似值分別為:${\displaystyle 2}$、${\displaystyle {\frac {7}{4}}}$、${\displaystyle {\frac {26}{15}}}$、${\displaystyle {\frac {97}{56}}}$、${\displaystyle {\frac {362}{209}}}$、${\displaystyle {\frac {1351}{780}}}$、${\displaystyle {\frac {131719}{76048}}}$。

几何学

如果把一个边长为1的等边三角形切成两个全等的直角三角形，则直角三角形的斜边长度为1，直角边为${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$和${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$。因此，60度的正切等于${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

它是边长为1的正六边形的互相平行的两边之间的距离。

如图：

在边长为1的正六边形${\displaystyle ABCDEF}$中, ${\displaystyle BD={\sqrt {3}}.}$

它是单位立方体（棱长为1的立方体）的对角线长度。

如图：

在棱长为1的立方体${\displaystyle ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$中, ${\displaystyle AC_{1}={\sqrt {3}}.}$

参见

• 2的算術平方根
• 5的算術平方根
• 平方根
• 无理数

註釋

註:
1. 令${\displaystyle \!\ x=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}$， 由觀察可知${\displaystyle x=2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{x}}}}}$，即${\displaystyle x^{2}-2x-2=0}$， 解方程，取正根，得${\displaystyle x=1+{\sqrt {3}}}$， 因此${\displaystyle {\sqrt {3}}=x-1=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}$。

参考文献

• M. F. Jones, "22900D approximations to the square roots of the primes less than 100", Math. Comp 22 (1968): 234 - 235.
• H. S. Uhler, "Approximations exceeding 1300 decimals for ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$, ${\displaystyle \sin({\frac {\pi }{3}})}$ and distribution of digits in them" Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37 (1951): 443 - 447.
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 23

外部链接

• 证明3的平方根是无理数
• MathWorld（页面存档备份，存于互联网档案馆）