FTCS格式

数值分析裡的FTCS是「前向時間中心空間」（forward time-centered space）的簡稱，是求解熱傳導方程式和其他抛物偏微分方程的有限差分法^[1]，在時間上是顯式的一階方法，若用在熱傳導方程下，會條件穩定。若用在移流方程（英语：advection），或是更廣義的抛物偏微分方程，要加入人工的粘度才會穩定。FTCS的縮寫最早是由Patrick Roache使用^[2][3]。

方法說明

FTCS格式是以時間上的前向欧拉方法以及空間上的中心差分為基礎，在時間上有一階收斂性，在空間上有二階收斂性。例如，在一維下，若其偏微分方程為

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

可令${\displaystyle u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,}$，前向歐拉法如下：

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

函數${\displaystyle F}$需要在空間上用中心差分架構進行離散化，這是顯式方法，若${\displaystyle u}$在之前時間${\displaystyle (n)}$的值均已知，可以顯式計算${\displaystyle u_{i}^{n+1}}$，不需求解代數方程。因為此算法是顯式的，在運算上的成本不高。

說明：一維熱傳導方程

FTCS方法常用在擴散方程，例如一維的熱傳導方程式

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

FTCS方法如下：

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}$

或者，令${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}}$:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)}$

穩定性

利用冯诺依曼稳定性分析的推導，用FTCS方法一維熱傳導方程有数值稳定性，若且唯若以下條件滿足：

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {\Delta x^{2}}{2\alpha }}.}$

也就是說，為了讓FTCS方法穩定，需選擇${\displaystyle \Delta x}$和${\displaystyle \Delta t}$滿足上式，若是二維問題，條件如下

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {1}{2\alpha \left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{\Delta y^{2}}}\right)}}.}$

若選擇${\textstyle h=\Delta x=\Delta y=\Delta z}$，則穩定條件會是${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(2\alpha )}$, ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(4\alpha )}$和${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(6\alpha )}$，分別針對一維、二維和三維的問題^[4]。

FTCS法的主要缺點是若問題的擴散係數${\displaystyle \alpha }$很大，符合條件的步階會很小，因此不實用。

針對双曲型偏微分方程，线性微分方程是常係數的移流方程（英语：advection），和熱傳導方程式（或扩散方程）不同，這兩個是抛物偏微分方程的正確選擇。 目前已知針對双曲型偏微分方程，任何的${\displaystyle \Delta t}$都會造成不穩定^[5]

相關條目

• 偏微分方程
• 克兰克-尼科尔森方法
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