HP滤波

HP滤波（英語：Hodrick–Prescott filter或Hodrick–Prescott decomposition）是宏观经济学中用到的时间序列分析方法，尤其在实际经济周期理论（英语：real business cycle theory）中较为常用。HP滤波可以从原始数据中分离出周期性的部分，并得到一条平滑的曲线来表述整个时间序列，即把对短期波动更敏感的数据转成了对长期波动更敏感的表示方式，改变乘数${\displaystyle \lambda }$可以调整其敏感程度。20世纪90年代，两位经济学家罗伯特·霍德里克（英语：Robert J. Hodrick）和诺贝尔奖得主爱德华·普雷斯科特发表了这种方法并受到学界欢迎。^[1]不过实际上早在1923年惠特克（英语：E. T. Whittaker）就首次发表了该方法^[2]。

数学表述

这个方法的思想类似于时间序列分解（英语：decomposition of time series）。令${\displaystyle \{y_{t}\},\ t=1,2,...,T\,}$表示一组时间序列变量的对数，则${\displaystyle \{y_{t}\}}$由一系列趋势项${\displaystyle \tau _{t}}$、周期项${\displaystyle c_{t}}$和误差项${\displaystyle \epsilon _{t}}$组成，即${\displaystyle y_{t}\ =\tau _{t}\ +c_{t}\ +\epsilon _{t}}$。^[3]给定合适的正数${\displaystyle \lambda }$，存在一个趋势项满足

${\displaystyle \min _{\tau }\left(\sum _{t=1}^{T}{(y_{t}-\tau _{t})^{2}}+\lambda \sum _{t=2}^{T-1}{[(\tau _{t+1}-\tau _{t})-(\tau _{t}-\tau _{t-1})]^{2}}\right)}$。

上式第一项表示变量偏离趋势项的误差${\displaystyle d_{t}=y_{t}-\tau _{t}}$的平方和，从而控制了周期项的大小；第二项用乘子${\displaystyle \lambda }$乘上趋势项二阶差分的平方和，从而控制了趋势项变化的剧烈程度。${\displaystyle \lambda }$越大，后者的控制就越强。霍德里克和普雷斯科特建议季度数据${\displaystyle \lambda }$取为1600，若单位不是季度则${\displaystyle \lambda }$正比于每单位所含季度数的平方，即年度数据取100、月度数据取14,400。^[1]雷文（Ravn）和乌利希（Uhlig）则在2002年发表的文章中提出${\displaystyle \lambda }$应该正比于数据每单位所含季度数的四次方，即年度数据${\displaystyle \lambda }$应取6.25、月度数据取129,600。^[4]

麦克尔罗伊的一篇论文中给出了双侧HP滤波谱分解的精确数学表达式^[5]。

评价

HP滤波很容易实现，不过它也存在一定缺陷，只在以下严苛条件下才能做出最优估计：^[6]

• 时间序列是二阶整合（英语：Order of integration）的^[7]，否则HP滤波会得到偏离实际情况的趋势项。
  • 如果发生了单次的永久性冲击（permanent shock）或存在稳定的趋势增长率，HP滤波得到的周期项也会扭曲。
• 样本中的周期项是白噪音，或者趋势项和周期项中的随机变化机制相同。

标准的双侧HP滤波不应该用来估计基于递归状态空间表达的DSGE模型，这是因为HP滤波使用未来的观测${\displaystyle t+i,i>0}$去构造当前时间点${\displaystyle t}$的结果，但递归状态空间要求当前的观测仅基于当前和过去的状态。要解决这个问题，可以使用单侧HP滤波。^[8]

参见

• 带通滤波器
• 卡尔曼滤波