里施算法

里施算法（英語：Risch algorithm），是一个由罗伯特·亨利·里施而得名的計算不定積分（反導函數）的算法。里施算法可以將積分的問題轉換為代數的問題。里施算法以要積分函數的形式為基礎，而且配合有理函數、方根、指數及對數函數的積分方式。

里施在1968年提出此算法，將此算法視為決定性程序，因為此算法可以判定一个函数的不定積分是否为初等函數；若答案是肯定的，算法还可以找出此不定積分。

在基思·格迪斯（英语：Keith Geddes）及史蒂芬·R·查波爾（Stephen R. Czapor）、喬治·拉班（George Labahn）所著的《電腦代数的算法》（Algorithms for Computer Algebra）中將里施算法加以摘要，篇幅超過一百頁。里施-諾曼算法（得名自A. C. Norman）在1976年提出，速度較快但威力較小。

算法描述

里施算法解决了求一个初等函数的不定积分的问题，对于有理函数，这一问题的简化版已被解决。

这个算法基于约瑟夫·刘维尔证明的定理： 如果存在初等函数g，f 使得 g′ = f ， 那么在 f 生成的域中存在常数 α_i 和函数 u_i 和 v ，使得解可以被表示为如下形式：

${\displaystyle g=v+\sum _{i<n}\alpha _{i}\ln(u_{i})}$

里施的贡献在于，他提供了一套方法，使得人们做积分时只需要考虑上文提到的域中有限的一组函数即可。

相關條目

• 符號積分
• 积分表
• 不完全Γ函數
• 刘维尔定理 (微分代数)

参见