YBC 7289

YBC 7289是一片古巴比伦黏土板，其上以六十進制記載了單位正方形的對角線長${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的準確估計值，所以備受關注。这个六十进制近似数换算成十进制相当于估算${\displaystyle {\sqrt {2}}}$到六位有效数字，这个近似数被称为“古典世界中...目前已知估算精度最高的近似数”。^[1] 這片黏土板據信是一位南美索不達米亞地區的學生的作品，作成的時間大概在公元前18世紀到公元前17世紀，被J·P·摩根连同其它一些古巴比伦黏土板捐給耶魯大學收藏，“YBC”是收纳这件文物的耶魯-巴比倫典藏庫（英语：Yale Babylonian Collection）（英語：Yale Babylonian Collection）的名字缩写，“7289”是这件文物在其中的编号。

YBC 7289

内容

黏土板上记有一个画着其两条对角线的正方形，正方形的一侧被标上了六十进制数字“30”，对角线被标上两个六十进制数字：

1. 第一个六十进制数${\textstyle 1;24,51,10}$，转换为十进制表示是${\textstyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}\approx 1.414213}$，这个数的估算误差小于两百万分之一^[2]；
2. 第二个六十进制数是${\textstyle 42;25,35}$，即十进制的${\textstyle 42+{\frac {25}{60}}+{\frac {35}{60^{2}}}=42.426}$。这个数是上一给定数乘以30的积，即是对边长为30的正方形的对角线长的估算^[2]。

因为巴比伦的六十进制计数法在进位方面并不明确，另一种解释是方形边长是${\textstyle {\frac {30}{60}}={\frac {1}{2}}}$。这么解释的话，对角线上的数是${\textstyle {\frac {30547}{43200}}=0.70711}$，即${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$的近似估计值，估计的误差也比二百万分一還小。^[2]

大卫·福勒（英语：David Fowler (mathematician)）和埃莉诺·罗宾逊（英语：Eleanor Robson）如此写道，“這樣我們就有了一個藉幾何解釋的倒數對（英語：a reciprocal pair of numbers）...”。他們指出，儘管這種解釋在和倒數的關鍵性^{[註 1]}聯繫起來後，很吸引人，但仍应謹慎對待這一說法。^[2]

黏土板反面被部分抹掉了，但羅賓遜認為它記載了類似的題目，題目有關一個邊長和對角線長為勾股數${\displaystyle (3,4,5)}$的矩形。^[3]

呈現形式

尽管YBC 7289經常以沿着对角线的方向示人^{[註 2]} ，巴比倫人畫正方形時約定俗成，各邊水平豎直繪製，帶有數字的邊在圖頂部^[4]。這塊小黏土板渾圓的形狀和上面的大字體具有演算草稿的特徵，这种泥板特征很典型，是被用来协助演算困难问题的，学生在使用时可握于掌中^[1][2]。

這名學生好像是從另一塊黏土板上抄来了${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的六十进制值，但这个逐步的演算过程见于另一块巴比伦黏土板BM 96957 + VAT 6598上^[2]。

在1945年，奧托·紐格伯爾和亞伯拉罕·薩克斯（英语：Abraham Sachs）最早發現泥板的數學意義^[2][5]。“這塊泥板呈现给我们古典时代全世界最高的计算精度”，精度相当于六位十进制有效数字。^[1]其它黏土板有關於计算六边形和七边形面积的，用到了${\displaystyle {\sqrt {3}}}$这种更复杂的代数数的估算值。^[2]這樣精確的一個√3的估計可解釋，古埃及人在建設金字塔時計算各維度的尺寸時為何這麼準確。YBC 7289上所写的数字精度更高，所以很明確的是上記的各種代數數的近似值是一種尋常計算的結果，而不只是一個估計值^[6]。

托勒密在《天文学大成》一书中亦应用了巴比伦人對${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的六十進制${\displaystyle 1;24,51,10}$估計值^[7][8]。托勒密沒說他的這個值是從哪裡來的，也許這個值當時已經是人盡皆知了^[7]。

黏土板的發掘和策展

現在已經無從考證YBC 7289從美索不达米亚的何处而來，但它的形状和书写风格像是美索不达米亚南部的，其作成时间作成的時間在公元前18世紀到公元前16世紀间^[1][2]。

1909年，耶鲁大学从巴比伦黏土板藏家J·P·摩根处获捐这些文物，從他宅邸運來的這些遺贈組成了耶鲁巴比伦典藏^[1][9]。 耶魯的文化遺產保育學院已經為泥板建立了數字模型，可用於3D打印^[9][10][11]。